現(xiàn)代科學(xué)工程計(jì)算基礎(chǔ)

第一章 緒論

§1 研究對(duì)象

§2 誤差的來(lái)源及其基本概念

2.1 誤差的來(lái)源

2.2 誤差的基本概念

2.3 和、差、積、商的誤差

§3 數(shù)值計(jì)算中幾點(diǎn)注意事項(xiàng)

習(xí)題

第二章 函數(shù)的插值與逼近

§1 引言

1.1 多項(xiàng)式插值

1.2 最佳逼近

1.3 曲線擬合

§2 Lagrange插值

2.1 線性插值與拋物插值

2.2 n次Lagrange插值多項(xiàng)式

2.3 插值余項(xiàng)

§3 迭代插值

§4 Newton插值

4.1 Newton均差插值公式

4.2 Newton差分插值公式

§5 Hermite插值

§6 分段多項(xiàng)式插值

6.1 分段線性插值

6.2 分段三次Hermite插值

§7 樣條插值

7.1 三次樣條插值函數(shù)的定義

7.2 插值函數(shù)的構(gòu)造

7.3 三次樣條插值的算法

7.4 三次樣條插值的收斂性

§8 最小二乘曲線擬合

8.1 問(wèn)題的引入及最小二乘原理

8.2 一般情形的最小二乘曲線擬合

8.3 用關(guān)于點(diǎn)集的正交函數(shù)系作最小二乘擬合

8.4 多變量的最小二乘擬合

§9 連續(xù)函數(shù)的量佳平方逼近

9.1 利用多項(xiàng)式作平方逼近

9.2 利用正交函數(shù)組作平方逼近

§10 富利葉變換及快速富利葉變換

10.1 最佳平方三角逼近與離散富利葉變換

10.2 快速富利葉變換

習(xí)題

第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分

§1 數(shù)值積分的基本概念

1.1 數(shù)值求積的基本思想

1.2 代數(shù)精度的概念

1.3 插值型求積公式

§2 等距節(jié)點(diǎn)求積公式

2.1 Newton—CoteS公式

2.2 復(fù)化求積法及其收斂性

2.3 求積步長(zhǎng)的自適應(yīng)選取

§3 Romberg 求積法

3.1 Romberg求積公式

3.2 Richardson外推加速技術(shù)

§4 Gauss型求積公式

4.1 Gauss型求積公式的一般理論

4.2幾種常見(jiàn)的Gauss型求積公式

§5 奇異積分和振蕩函數(shù)積分的計(jì)算

5.1 奇異積分的計(jì)算

5.2 振蕩函數(shù)積分的計(jì)算

§6 多重積分的計(jì)算

6.1 基本思想

6.2 復(fù)化求積公式

6.3 Gauss型求積公式

§7 數(shù)值微分

7.1 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法

7.2 插值型求導(dǎo)公式

習(xí)題

第四章 解線性代數(shù)方程組的直接法

§1 Gauss消去法

§2 主元素消去法

2.1 全主元素消去法

2.2 列主元素消去法

§3 矩陣三角分解法

3.1 Doolittle分解法（或LU分解）

3.2 列主元素三角分解法

3.3 平方根法

3.4 三對(duì)角方程組的追趕法

§4 向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及條件數(shù)

4.1 向量和矩陣的范數(shù)

4.2 矩陣條件數(shù)及方程組性態(tài)

習(xí)題

第五章 解線性代數(shù)方程組的迭代法

§1 Jacobi迭代法

§2 Gauss-Seidel迭代法

§3 超松弛迭代法

§4 共軛梯度法

習(xí)題

第六章 非線性方程求根

§1 逐步搜索法及二分法

1.1 逐步搜索法

1.2 二分法

§2 迭代法

2.1 迭代法的算法

2.2 迭代法的基本理論

2.3 局部收斂性及收斂階

§3 迭代收斂的加速

3.1 松弛法

3.2 Aitken方法

§4 New-ton迭代法

4.1 Newton迭代法及收斂性

4.2 Newton迭代法的修正

4.3 重根的處理

§5 弦割法與拋物線法

5.1 弦割法

5.2 拋物線法

§6 代數(shù)方程求根

6.1 多項(xiàng)式方程求根的Newton法

6.2 劈因子法

§7 解非線性方程組的Newton迭代法

習(xí)題

……

第七章 矩陣特征值和特征向量的計(jì)算

第八章 常微方分程數(shù)值解法

附錄

參考文獻(xiàn)2100433B

《研究生系列教材:現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算基礎(chǔ)》較為詳細(xì)地介紹了科學(xué)與工程計(jì)算中常用的數(shù)值計(jì)算方法、基本概念及有關(guān)的理論和應(yīng)用。全書(shū)共分八章，主要內(nèi)容有誤差分析，函數(shù)的插值與逼近，數(shù)值積分與數(shù)值微分，線性代數(shù)方程組的直接解法與迭代解法，非線性方程及非線性方程組的數(shù)值解法，矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法，以及常微分方程初、邊值問(wèn)題的數(shù)值解法等。使用對(duì)象為高等院校工科類(lèi)研究生及理工科類(lèi)非“信息與計(jì)算科學(xué)”專(zhuān)業(yè)本科生，也可供從事科學(xué)與工程計(jì)算的科技工作者參考。《研究生系列教材:現(xiàn)代科學(xué)與工程計(jì)算基礎(chǔ)》講授由淺人深，通俗易懂，具備高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)知識(shí)者均可學(xué)習(xí)。

本書(shū)內(nèi)容是科學(xué)和工程實(shí)際中常用的數(shù)值計(jì)算方法及其有關(guān)的理論，包括線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法、插值和擬合、數(shù)值積分和數(shù)值微分、常微分方程的數(shù)值解法、非線性方程（組）的數(shù)值解法、最優(yōu)化的計(jì)算方法以及矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值方法。各章都有應(yīng)用例題和數(shù)值試驗(yàn)習(xí)題，書(shū)末附有Matlab語(yǔ)言簡(jiǎn)介。為便于自學(xué)，數(shù)值計(jì)算習(xí)題附有答案。

本書(shū)注重實(shí)際應(yīng)用和計(jì)算能力的訓(xùn)練，注意基本概念和基本理論，但不追求理論上的完整性。本書(shū)的起點(diǎn)低，跨度大，從復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)開(kāi)始，直到某些近代的算法，范圍和深度都有較大的彈性?？勺鳛楣こ檀T士研究生以及理工科非計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生、研究生的“數(shù)值分析”課程教材，也可供科技工作者參考。

《工程水文與水力計(jì)算基礎(chǔ)/全國(guó)水利行業(yè)“十三五”規(guī)劃教材（職工培訓(xùn)）》是“中央財(cái)政支持高等職業(yè)學(xué)校提升專(zhuān)業(yè)服務(wù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展能力”計(jì)劃項(xiàng)目——楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院水利工程專(zhuān)業(yè)系列建設(shè)成果之一，主要面向水利基層從業(yè)人員，為解決小型水利工程建設(shè)與管理過(guò)程中的水文、水力計(jì)算問(wèn)題提供基礎(chǔ)。主要內(nèi)容包括靜水壓強(qiáng)與靜水壓力計(jì)算，水流運(yùn)動(dòng)的基本原理，恒定有壓管流水力計(jì)算，明渠均勻流水力計(jì)算，堰、閘水力計(jì)算，河流水文基本知識(shí)，水文測(cè)驗(yàn)與資料收集，水文統(tǒng)計(jì)的基本方法，年徑流分析與計(jì)算，設(shè)計(jì)洪水分析計(jì)算，水庫(kù)基本常識(shí)等。

《工程水文與水力計(jì)算基礎(chǔ)/全國(guó)水利行業(yè)“十三五”規(guī)劃教材（職工培訓(xùn)）》主要作為基層水利職工培訓(xùn)教材，也可以作為高職水利類(lèi)專(zhuān)業(yè)選用教材，以及水利行業(yè)從業(yè)人員自學(xué)參考用書(shū)。

前言 V

第1章 緒論 1

1.1 課程的內(nèi)容、意義和特點(diǎn) 1

1.2 誤差的基本概念 4

1.2.1 誤差和有效數(shù)字 4

1.2.2 函數(shù)求值的誤差估計(jì) 5

1.2.3 計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示和舍入誤差 7

1.3 數(shù)值穩(wěn)定性和病態(tài)問(wèn)題 8

1.3.1 算法的穩(wěn)定性 8

1.3.2 病態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題和條件數(shù) 10

1.4 算法的實(shí)現(xiàn) 11

習(xí)題1 11

數(shù)值試驗(yàn)題1 12

第2章 預(yù)備知識(shí) 13

2.1 微積分若干基本概念和基本定理 13

2.1.1 數(shù)列極限和函數(shù)極限 13

2.1.2 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 14

2.1.3 函數(shù)序列的一致收斂性 16

2.1.4 中值定理 17

2.1.5 變參數(shù)積分求導(dǎo)公式 19

2.2 常微分方程的基本概念和有關(guān)理論 19

2.2.1 基本概念 19

2.2.2 初值問(wèn)題解的存在唯一性 21

2.2.3 初值問(wèn)題的適定性、條件 23

2.2.4 兩點(diǎn)邊值問(wèn)題 25

2.3 線性代數(shù)的有關(guān)概念和結(jié)論 26

2.3.1 線性空間 26

2.3.2 矩陣和矩陣變換 28

2.3.3 初等矩陣 30

2.3.4 矩陣的特征值和譜半徑 31

2.3.5 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 34

2.3.6 矩陣特征值估計(jì)——Gerschgorin圓盤(pán)定理 37

2.3.7 對(duì)角占優(yōu)陣 40

2.3.8 對(duì)稱(chēng)正定陣 42

2.3.9 分塊矩陣 44

2.3.10 向量和連續(xù)函數(shù)的內(nèi)積 46

2.3.11 向量范數(shù)，矩陣范數(shù)和連續(xù)函數(shù)的范數(shù) 48

習(xí)題2 55

第3章 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法 61

3.1 引言 61

3.2 高斯消去法 62

3.2.1 順序消去過(guò)程和矩陣的LU三角分解 62

3.2.2 可行性和計(jì)算量 67

3.2.3 數(shù)值穩(wěn)定性：選主元 68

3.3 矩陣的直接三角分解法 75

3.3.1 三對(duì)角形方程組的追趕法 75

3.3.2 對(duì)稱(chēng)正定陣的Cholesky分解法 77

3.4 方程組的性態(tài)、條件數(shù) 81

3.4.1 病態(tài)方程組和矩陣的條件數(shù) 81

3.4.2 條件數(shù)的應(yīng)用：方程組誤差估計(jì) 85

3.5 大型方程組的迭代方法 87

3.5.1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法 88

3.5.2 迭代法的收斂性和收斂速度 91

3.5.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性判定 95

3.5.4 分塊迭代法 97

3.6 應(yīng)用例題 98

評(píng)注 102

習(xí)題3 104

數(shù)值試驗(yàn)題3 109

第4章 插值和擬合 113

4.1 引言 113

4.1.1 函數(shù)的插值 113

4.1.2 離散數(shù)據(jù)的擬合 114

4.2 插值 116

4.2.1 拉格朗日插值法 116

4.2.2 插值的余項(xiàng) 118

4.2.3 均差和牛頓插值法 119

4.3 分段低次插值 121

4.3.1 龍格現(xiàn)象和分段線性插值 121

4.3.2 分段埃爾米特三次插值 124

4.3.3 附注：二重埃爾米特插值 127

4.4 三次樣條插值 127

4.4.1 樣條插值的背景和定義 127

4.4.2 三次樣條插值的定解條件 128

4.4.3 三彎矩算法 130

4.4.4 例題和一致收斂性 133

4.5 正交多項(xiàng)式 136

4.5.1 連續(xù)函數(shù)空間 136

4.5.2 離散點(diǎn)列上的正交多項(xiàng)式 139

4.5.3 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式 143

4.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 146

4.6.1 線性模型和最小二乘擬合 146

4.6.2 正規(guī)方程和解的存在唯一性 147

4.6.3 多項(xiàng)式擬合和例題 151

4.6.4 正規(guī)方程的病態(tài)和正交多項(xiàng)式擬合 154

評(píng)注 158

習(xí)題4 158

數(shù)值試驗(yàn)題4 161

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分 162

5.1 引言 162

5.2 梯形公式和Simpson求積公式 164

5.2.1 梯形公式和Simpson公式 164

5.2.2 復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式 167

5.3 Gauss求積公式 170

5.3.1 Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的關(guān)系 171

5.3.2 常用的Gauss型求積公式 173

5.3.3 Gauss公式的余項(xiàng) 178

5.3.4 Gauss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性 179

5.4 數(shù)值微分 180

5.4.1 Taylor展開(kāi)法 181

5.4.2 插值型求導(dǎo)公式 185

5.4.3 三次樣條求導(dǎo) 187

5.5 外推技巧和自適應(yīng)技術(shù) 189

5.5.1 外推原理 189

5.5.2 數(shù)值微分的外推算法 191

5.5.3 數(shù)值積分的Romberg算法 191

5.5.4 自動(dòng)變步長(zhǎng)Simpson方法和自適應(yīng)Simpson方法 193

5.6 應(yīng)用例題 194

評(píng)注 197

習(xí)題5 198

數(shù)值試驗(yàn)題5 201

第6章 常微分方程的數(shù)值解法 203

6.1 引言 203

6.2 初值問(wèn)題的數(shù)值解法 204

6.2.1 Euler方法及其截?cái)嗾`差和階 204

6.2.2 Runge-Kutta法 209

6.2.3 單步法的穩(wěn)定性 214

6.2.4 線性多步法 217

6.2.5 預(yù)測(cè)-校正技術(shù)和外推技巧 221

6.3 一階常微分方程組的數(shù)值方法 225

6.3.1 一階方程組和高階方程 225

6.3.2 剛性方程(組) 227

6.4 邊值問(wèn)題的打靶法和差分法 233

6.4.1 打靶法 234

6.4.2 差分法 237

6.5* 有限元方法 239

6.5.1 泛函極值和Euler方程 240

6.5.2 兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的變分原理 244

6.5.3 變分近似法——Ritz-Galerkin方法 251

6.5.4 有限元方法 257

評(píng)注 266

習(xí)題6 267

數(shù)值試驗(yàn)題6 272

第7章 非線性方程和方程組的解法 276

7.1 引言 276

7.1.1 問(wèn)題的背景和內(nèi)容概要 276

7.1.2 一元方程的搜索法 277

7.2 一元方程的基本迭代法 279

7.2.1 基本迭代法及其收斂性 279

7.2.2 局部收斂性和收斂階 282

7.2.3 收斂性的改善 286

7.3 一元方程的牛頓迭代法 288

7.3.1 牛頓迭代法及其收斂性 288

7.3.2 重根時(shí)的牛頓迭代改善 291

7.3.3 離散牛頓法 293

7.4 非線性方程組的解法 294

7.4.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 294

7.4.2 牛頓迭代法 298

7.4.3 擬牛頓法 303

附錄7.1 某些定理的證明 307

附錄7.2 延拓法 310

評(píng)注 313

習(xí)題7 314

數(shù)值試驗(yàn)題7 317

第8章 最優(yōu)化方法 318

8.1 引言 318

8.2 線性規(guī)劃及其解法 320

8.2.1 標(biāo)準(zhǔn)形式和基本性質(zhì) 320

8.2.2 單純形算法 324

8.2.3 單純形方法的初始化 330

8.2.4 線性規(guī)劃的對(duì)偶性質(zhì) 333

8.2.5 對(duì)偶變尺度算法 336

8.3 無(wú)約束最優(yōu)化方法 342

8.3.1 基本概念和下降法 342

8.3.2 一維搜索 345

8.3.3 下降方向和收斂性 348

8.3.4 非線性最小二乘問(wèn)題 351

8.4 約束最優(yōu)化方法 356

8.4.1 引言 356

8.4.2 罰函數(shù)法 357

8.4.3 下降法 363

8.4.4 凸二次規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)算法 369

評(píng)注 374

習(xí)題8 375

數(shù)值試驗(yàn)題8 377

第9章 矩陣特征值問(wèn)題的數(shù)值解法 379

9.1 引 言 379

9.1.1 問(wèn)題的背景和內(nèi)容概要 379

9.1 2 特征值的擾動(dòng)和條件數(shù) 381

9.2 冪法及其變形 382

9.2.1 冪法和外推加速 382

9.2.2 反冪法和原點(diǎn)位移 387

9.2.3 對(duì)稱(chēng)矩陣的修正冪法 390

9.3 矩陣的兩種正交變換 393

9.3.1 平面旋轉(zhuǎn)變換和鏡面反射變換 393

9.3.2 化矩陣為Hessenberg形 398

9.3.3 矩陣的QR分解 402

9.4 QR算法 405

9.4.1 QR算法及其收斂性 405

9.4.2 QR算法的改善 410

9.4.3 雙步隱式QR算法 413

評(píng)注 420

習(xí)題9 420

數(shù)值試驗(yàn)題9 423

附錄 Matlab語(yǔ)言簡(jiǎn)介 424

f.1 Matlab語(yǔ)言的特點(diǎn) 424

f.2 環(huán)境窗口、語(yǔ)言結(jié)構(gòu)和編程方法 426

f.3 主要語(yǔ)法和符號(hào) 428

f.4 矩陣的操作和運(yùn)算 433

f.5 庫(kù)函數(shù) 439

f.6 若干算法的Matlab程序 442

參考文獻(xiàn) 454

習(xí)題答案 456

索引 4682100433B