常微分方程和動力系統(tǒng)若干問題的研究

研究弱希爾伯特第十六問題，阿貝爾積分的零點問題，以及奇異向量場的各種開折問題；研究動力系統(tǒng)的唯一正規(guī)形，Neimark-Sacker分岔和相應(yīng)Liapunov量的計算，以及分岔在金融模型中的應(yīng)用：研究C（1）流的熵理論，使之既能量度C（1）流的復(fù)雜程度，又能成為等價C（1）的不變量。上述研究在理論和應(yīng)用中有重要意義。

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解，然后用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解 。

線性常微分方程待定系數(shù)法

考慮以下的微分方程：

對應(yīng)的齊次方程是：

它的通解是：

由于非齊次的部分是

把這個函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，我們可以解出A：

因此，原微分方程的解是 ：

線性常微分方程常數(shù)變易法

假設(shè)有以下的微分方程：

我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解

兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得：

我們把函數(shù)u₁、u₂加上一條限制：

于是，代入上式，可得：

兩邊再求導(dǎo)數(shù)，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y₁和y₂都是齊次方程的通解，因此

將(2)和(5)聯(lián)立起來，組成了一個

這個方法也可以用來解高于二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

其中，W表示朗斯基行列式。

一階線性微分方程的多種解法及其教學(xué)問題：

對應(yīng)的齊次線性方程為 ：

本項目擬對流體力學(xué)中出現(xiàn)的微宏觀模型（流體/粒子系統(tǒng)和凝聚態(tài)復(fù)雜流體），粘彈性流體模型以及dipersive Navier-Stokes方程等耦合方程的整體適定性以及模型的漸進性態(tài)等若干問題進行研究。對于多尺度模型，項目的研究主要集中在利用微宏觀方程的耦合效應(yīng)，找出系統(tǒng)強解的爆破機制，建立爆破時空估計并證明系統(tǒng)整體解的存在性和穩(wěn)定性。同時也將研究耦合系統(tǒng)長時間的漸進行為以及相應(yīng)的的收斂速度。另外，基于全局存在性的結(jié)果，將研究從cut-off Boltzmann方程出發(fā)到dispersive Navier-Stokes方程的流體力學(xué)極限過程，并建立極限過程的全局誤差估計。本項目對上述問題的研究，有助于對現(xiàn)實中流體的物理現(xiàn)象的認(rèn)識，并能不斷完善和發(fā)展新的理論，從而既可以對指導(dǎo)實際問題提供重要的參考價值又可以不斷豐富偏微分方程的理論內(nèi)容。