半正定矩陣

1、對于半正定矩陣來說，相應(yīng)的條件應(yīng)改為所有的主子式非負。順序主子式非負并不能推出矩陣是半正定的。

2、半正定矩陣

定義:設(shè)A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有X*A*X≥0，就稱A為半正定矩陣。

3、A∈Mn(K)是半正定矩陣的充分條件是:A的所有主子式大于或等于零。

定義 一個n× n的埃爾米特矩陣M是正定的當且僅當對于每個非零的復(fù)向量z，都有z*Mz > 0，則稱M為正定矩陣，其中z* 表示z的轉(zhuǎn)置矩陣。當z*Mz > 0弱化為z*Mz≥0時，稱M是半正定矩陣由于 M是埃爾米特矩陣，經(jīng)計算可知，對于任意的復(fù)向量z，z*Mz必然是實數(shù)，從而可以與0比較大小.

與正定矩陣相對應(yīng)，一個n× n的埃爾米特矩陣M是負定矩陣,當且僅當對非零的復(fù)向量z都有:z*Mz < 0.

具有對稱矩陣A的二次型f=x'Ax

如果對任何非零向量x，都有x'Ax≥0(或x'Ax≤0)成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，則稱f為半正定(半負定)二次項，矩陣A稱為半正定矩陣(半負定矩陣)

由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法:

1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數(shù)。

證明:若 ， 則有

∴λ>0

反之，必存在U使

即

有

這就證明了A正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負。

2.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

證明:A正定

二次型 正定

A的正慣性指數(shù)為n

3.n階對稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

證明:n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使

令 則

令 則

反之，

∴A正定。

同理可證A為半正定時的情況。

4.n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 。

證明:(1)∵n階對稱矩陣A正定

∴ 是正定二次型

現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個數(shù)為1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩陣C ，使

5.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個順序主子式全大于零。

證明:必要性:

設(shè)二次型 是正定的

對每個k,k=1,2,…,n,令

，

現(xiàn)證 是一個k元二次型。

∵對任意k個不全為零的實數(shù) ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩陣

是正定矩陣

即

即A的順序主子式全大于零。

充分性:

對n作數(shù)學歸納法

當n=1時，

∵ ， 顯然 是正定的。

假設(shè)對n-1元實二次型結(jié)論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分塊寫成

∵A的順序主子式全大于零

∴ 的順序主子式也全大于零

由歸納假設(shè)， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

兩邊取行列式，則

由條件 得a>0

顯然

即A合同于E ，

∴A是正定的。

1.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數(shù)為n。

2.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

3.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足。

即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。

由于A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出，故證明略。

1.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。

2.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。

3.n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。

注:3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如:

矩陣 的順序主子式 ，但A并不是半正定的。