怎樣添加平面幾何輔助線

我和平面幾何的50年感情

——另類回憶錄，朝花夕拾其樂融融！/6531劉卓

說來好笑，我和平面幾何的50年感情，是從一道數(shù)學(xué)題卡殼開始的。那是1962年夏天的中考，數(shù)學(xué)試卷的最后一題是幾何作圖：已知一個(gè)直角三角形的一個(gè)直角邊，另一直角邊和斜邊之和，求作這個(gè)直角三角形。當(dāng)時(shí)我無論如何想不出來怎么做，絞盡腦汁，就是不知道怎么下手，只好坐在那里發(fā)呆，手心還有點(diǎn)冒汗。走出考場一問，原來十分簡單。先用已知的直角邊，另一直角邊和斜邊之和作一個(gè)過渡的直角三角形，再在這個(gè)直角三角形的斜邊上作中垂線，交大直角邊于一點(diǎn)，連接這一點(diǎn)和底邊的頂點(diǎn)，即得所求的直角三角形。（見圖1）

這事對我刺激很大，因?yàn)樵谶@之前，好像還沒有發(fā)生過有什么題完全不會(huì)做的（井底之蛙，不知道外面世界的深淺?。?。追究起來，初中母校也沒有什么可以責(zé)備的地方，因?yàn)槟菚r(shí)候全國三年自然災(zāi)害時(shí)期，飯都吃不飽，處處講究勞逸結(jié)合，各種課程當(dāng)中，能夠精簡的就省略不講了，連課本都是用回收紙印刷的，呈一種淡淡的灰黑色。我記得幾何書就特別簡單，一看就懂，沒有復(fù)雜難做的題目。

進(jìn)入高中以后就想，這樣不行呀，萬一今后高考出一道平面幾何題，怎么辦？于是在1962年冬天，咬咬牙，花9毛錢到交通路舊書店，淘到一本嚴(yán)濟(jì)慈編的《幾何證題法》。9毛錢當(dāng)時(shí)可是一筆大錢，要知道香噴噴的燒餅才3分錢一個(gè)，大燒餅5分錢一個(gè)。并且手頭只有唯一的這一本參考書，于是從頭啃到尾，一字不漏，所有習(xí)題統(tǒng)統(tǒng)做光。學(xué)習(xí)幾何最有效的方法就是做題，通過書里面各種各樣的雜題，使你從不同的角度，對每個(gè)定理有了透徹的理解。所謂“熟讀唐詩300首，不會(huì)吟詩也會(huì)吟”，慢慢的，我對做幾何題，也有兩刷子了。這里面還有一個(gè)難忘的回憶：做題的草稿紙極其稀缺。每學(xué)期開學(xué)的時(shí)候，只能從家里拿到1角4分錢，到長江日報(bào)的紅旗大樓邊門，在那里買1斤印刷廠的邊角余料，當(dāng)草稿紙，這1斤草稿紙數(shù)理化都要用，并且要一直用到本學(xué)期結(jié)束。所有的空白地方都要寫滿，舍不得浪費(fèi)！

當(dāng)時(shí)我們1班的男生，大部分坐在后排，偶爾偷偷的互相遞紙條，求解數(shù)學(xué)難題。有一天，一位學(xué)友突然遞給我一道題：求作一個(gè)三角形，使與已知三角形相似，并且3個(gè)頂點(diǎn)分別在3個(gè)同心圓的圓周上。大概用了二十來分鐘，我就把做法寫出來了。思路是：先畫圖，假設(shè)已經(jīng)作出，這個(gè)題的關(guān)鍵點(diǎn)是同心圓的圓心，把圓心分別連接到三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，關(guān)系就看出來了。因?yàn)檫@3條連線的長度分別是3個(gè)半徑R1,R2,R3, 所以圓心到3個(gè)三角形頂點(diǎn)的距離之比分別是R1/R2, R2/R3, R3/R1，這樣作法就出來了：對已知三角形ABC的兩條邊，作比值為R1/R2, R2/R3的兩個(gè)阿氏圓，它們相交于P點(diǎn)，連接PA, PB, PC, 得到角1和角2，再以同心圓的圓心為頂點(diǎn)，畫出角1和角2，它們的3條邊與3個(gè)圓周交于D, E, F, 三角形DEF即為所求。（見圖2）

做出來以后，我的心情好極了。這證明我也可以做難題，不比別人差。慢慢的，別人也會(huì)對你刮目相看了！后來我打聽到，上面的題目，是上海市數(shù)學(xué)會(huì)編的《高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料》里面的一道題，沒有具體答案。（該書只有計(jì)算題才有答案。）自此以后，對幾何題愈發(fā)勤奮起來，每天做，一步一步越來越投入，好像上了癮。雖然高二，高三的課程內(nèi)容和平面幾何漸行漸遠(yuǎn)，越來越搭不上關(guān)系，但每天晚上臨睡以前還是要看一，二頁幾何，放松一下子。幾何圖形的精美和純粹的邏輯思維，令人陶醉。不過對于考試來講，后來的高考沒有出現(xiàn)過平面幾何題，往后的一輩子，也沒有用過什么復(fù)雜的幾何圖形。它實(shí)際上是個(gè)花瓶子，好看而不實(shí)用（工程技術(shù)中用途不大）。

1965年離開一中后，在軍校軍訓(xùn)、學(xué)習(xí)了一年，就開始搞文化大革命，到處都是大字報(bào)。但我對“造反”，還是“?；省?，始終沒有什么興趣。既不想關(guān)心“國家大事”，也不想“把無產(chǎn)階級文化大革命進(jìn)行到底”。好在學(xué)校圖書館那幾年管理松懈，幾乎無人問津。這樣我就隔三差五的跑到書庫里面，“竊”幾本書，看完以后偷偷送回去，接著再“竊”幾本。3年中間看了許多好書。至今還記得的，有郭沫若的《中國史稿》，商務(wù)印書館編輯的《四角號碼新詞典》，日本長澤龜之助的《幾何學(xué)詞典》。其中《幾何學(xué)詞典》洋洋大觀，有1寸半厚，1千多頁，題目上萬，全部分門別類，詳列解法，并配精美圖形。令你不得不對這位老先生肅然起敬。記得該書的譯者叫薛德炯，吳載耀，他們在前言中說：（30年代的中國）“文藝小說，車載斗量，科學(xué)作品，寥若晨星”。這話我到現(xiàn)在都記得，因?yàn)樗f出了中國社會(huì)的特點(diǎn)，切中時(shí)弊。當(dāng)然到現(xiàn)在，文藝小說已經(jīng)不看了，大家都玩手機(jī)，這在地鐵里面是一道亮麗的風(fēng)景線。

到了七、八十年代，比較好的幾何書有香港秦元?jiǎng)氲膸缀螌W(xué)概論，該書用東亞人特有的簡潔手法（不談嚴(yán)謹(jǐn)），介紹平面幾何中一些最重要定理的證明路徑，特別適合業(yè)余愛好者的胃口。我國數(shù)學(xué)老前輩李儼先生的《近世幾何學(xué)初編》，以及德國希爾伯特《直觀幾何》，從不同的視角，全方位地介紹平面幾何在數(shù)學(xué)中的地位（和其他分支的關(guān)系），讀來令人振奮。

這其中值得一提的是帕斯卡定理，敘述如下：圓內(nèi)接六邊形3雙對邊的交點(diǎn)共線。當(dāng)我仔細(xì)看完證明以后，不禁拍案叫好，這個(gè)定理太漂亮了，你看，只要圓上有6個(gè)任意點(diǎn)，就可以形成3雙對邊，就有3個(gè)交點(diǎn)，這3點(diǎn)就一定在一條直線上！這是一個(gè)精確的函數(shù)關(guān)系：前提是圓（也包括橢圓），結(jié)論是3點(diǎn)共線。證明中間，4次使用同一個(gè)預(yù)備定理，并不復(fù)雜，關(guān)鍵要會(huì)看圖。這個(gè)定理是帕斯卡300多年以前發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時(shí)他才16歲，后來他終身未娶，只活了30多歲，晚年放棄科學(xué)，專心研究神學(xué)。這使我懷疑，真正的數(shù)學(xué)天才，都是上帝派他們下凡的，向人間泄漏了一些天機(jī)以后，又匆匆把他們召回天上。像伽羅華，阿貝爾都有類似的經(jīng)歷，都是英年早逝。與帕斯卡定理互為對稱的，有布利安桑定理，也很漂亮：圓外切六邊形3雙頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。你看，只要把兩個(gè)定理中間的“內(nèi)接—外切”，“點(diǎn)—線”互換位置，句型不變，就變成了和它對偶的定理。這符合數(shù)學(xué)美的基本要求：簡單，對稱，精準(zhǔn)。我個(gè)人認(rèn)為，這兩個(gè)定理是平面幾何中間，最精致、最完美的定理。它把點(diǎn)、直線、圓的關(guān)系鑲嵌得天衣無縫。（見圖3）

2001年4月5日，武漢晚報(bào)第3版，刊登一則數(shù)學(xué)題的征解結(jié)果。它是當(dāng)時(shí)的國家領(lǐng)導(dǎo)人訪問澳門的時(shí)候，對中學(xué)生出的一道平面幾何題：“任意五角星，分別作5個(gè)角的外接圓，得5個(gè)外接圓的5個(gè)交點(diǎn)，求証這5點(diǎn)共圓。”我在翻報(bào)紙的時(shí)候，看到這個(gè)題，覺得有些趣味。再仔細(xì)看了一下，想起它在法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)摹稁缀螌W(xué)教程》中間出現(xiàn)過，趕緊拿書一翻，果然有，于是照抄以后，向武漢晚報(bào)投稿。結(jié)果在4月5日的征解結(jié)果里面，竟然有我的大名，是15個(gè)正確解答者之一，不過是排在最后一名。獎(jiǎng)品是2支精裝圓珠筆，盡管微乎其微，我還是很高興。要知道，它是我這輩子學(xué)習(xí)平面幾何唯一的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)呀?。ㄒ妶D4和武漢晚報(bào)的照片）

等到2006年正式退休前后，因?yàn)闊o事可做，閑得慌，又看了兩本比較好的幾何書，一本是日本林鶴一先生所著《初等幾何學(xué)作圖不能問題》，（1935年版），另一本是美國約翰遜著《近代歐氏幾何學(xué)》。特別前一本書，很值得一看。雖然文言文甚為拗口，并且許多數(shù)學(xué)名詞的翻譯與現(xiàn)代相差太遠(yuǎn)，但是內(nèi)容十分精彩，可讀性很高。除了我們熟悉的古典三大不可能問題（化圓為方，立方倍積，三等分角）以外，對所有僅用圓規(guī)直尺不可能作出的幾何圖形，分門別類進(jìn)行了歸納和分析，上升到理論高度，使人不留懸念。最為精彩的是等分圓周這一章。我們在中學(xué)里已經(jīng)知道怎么樣3等分圓周，5等分圓周。再往上，7等分？11等分？13等分？……因?yàn)槿说拇竽X有限，已經(jīng)搞糊涂了，所以從古希臘到現(xiàn)在，沒有人再前進(jìn)一步。直到1777年高斯誕生，他在18歲時(shí)一舉解決了這個(gè)問題，指出下一個(gè)可以等分的圓周，是17等分，并且以后在他的墓碑上面，畫的就是一個(gè)正17邊形。高斯證明，只有當(dāng)邊數(shù)為費(fèi)馬數(shù)時(shí)，（即2的2的n次方加1，像3，5，17，257，

65537…）正多邊形才可能用圓規(guī)直尺作出來。

具體講，有人根據(jù)他的理論，采用代數(shù)方法在單位圓上，對17邊形每個(gè)頂點(diǎn)的值進(jìn)行復(fù)數(shù)計(jì)算，最后用直尺圓規(guī)畫出正17邊形。數(shù)學(xué)史記載，后人作257邊形，用了16頁紙，再有人作65537邊形，用了一皮箱紙！可見18、19世紀(jì)，人們對這個(gè)理論的癡迷及對高斯的崇拜。

2009年，我到德國旅游的時(shí)候，曾經(jīng)專門驅(qū)車2個(gè)小時(shí)，到哥廷根大學(xué)，瞻仰高斯故居和他長期工作過的哥廷根天文臺(tái)，他在那兒主持了一次歷史上著名的大地測量，企圖驗(yàn)證非歐幾何學(xué)的基本結(jié)論：三角形的內(nèi)角和不等于180度，但是失敗了。同行的德國朋友說我是高斯的粉絲，我很高興：“對呀，我就是高斯的粉絲！”

從遙遠(yuǎn)的東方，來了一個(gè)黃皮膚黑頭發(fā)的人，瞻仰高斯。多么富有詩意！這說明中國的國力已經(jīng)變得強(qiáng)大，普通老百姓也可以到歐洲來，瞻仰偉大的科學(xué)巨人！下面的照片是我在高斯的青銅像前留影，坐者是高斯，站立者是韋伯（物理學(xué)家）。

鄧麗君有一首家喻戶曉的歌曲：“……路邊的野花不要采！”可我一輩子就喜歡不斷的采集各種各樣的野花野草，想方設(shè)法去沾花惹草。當(dāng)然，它們是數(shù)學(xué)大花園里面的絢麗花卉、幾何學(xué)的奇花異草，不是什么別的東西。大家不要想歪了！

把優(yōu)美的幾何題比做美麗的花朵，不是我的發(fā)明創(chuàng)造。北京師范大學(xué)的梁紹鴻先生，在1958年編寫了一本中國的經(jīng)典：《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）》，今年再版印刷的時(shí)候，后人這樣贊美它：“愿幾何世界中的瓊花瑤草迎風(fēng)綻放，來點(diǎn)綴美麗芬芳的數(shù)學(xué)百花園。”

除此之外，學(xué)習(xí)幾何對我還另有妙用：治病，催眠。人的一生，難免遇到各種各樣的困境和挫折，導(dǎo)致情緒煩躁，郁悶。每到此時(shí)，我就習(xí)慣性的拿一本幾何書，看他幾頁，正所謂“兩耳不聞窗外事，閉門只讀圣賢書”，用不了多長時(shí)間，血壓自然下降，情緒慢慢平靜下來，又能心平氣和地看待周圍的現(xiàn)實(shí)世界了。它的效果和散步或者打球差不多，甚至更好。有時(shí)候白天興奮過度，晚上也很難入睡，這時(shí)候又拿幾何題來看它幾眼，不管會(huì)不會(huì)做，不會(huì)做更好，很快腦筋就進(jìn)入迷糊狀態(tài)，昏昏入睡。要是還睡不著，就在心中默念：“你這輩子一事無成，但是你努力了，你曾經(jīng)奮斗過，你可以心安理得……”等等，諸如此類的話，能從心理上產(chǎn)生奇妙的催眠效果，馬上身心放松，進(jìn)入南柯夢鄉(xiāng)，極少嘗到失眠之苦。所以，各位可以看出，我畢生養(yǎng)成的這個(gè)優(yōu)雅的嗜好：和平面幾何有50年親密接觸，不僅有回報(bào)的，并且是很豐厚的回報(bào)。

（轉(zhuǎn)自新浪博客）

幾何從小學(xué)的正方形長方形開始，再到初高中的立體幾何，一直是數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是考試的必考點(diǎn)。小學(xué)階段的平面幾何，是小學(xué)數(shù)學(xué)階段的一個(gè)重點(diǎn)知識，在小升初的考試中也占據(jù)了較大比例。同學(xué)們想要小升初數(shù)學(xué)取得理想成績，尤其熱門學(xué)校的考試，平面幾何知識點(diǎn)一定要掌握好。下面我們就看一下學(xué)過的平面幾何知識和常見考點(diǎn)題型。

一、平面幾何知識點(diǎn)

其中，平面圖形重要知識點(diǎn) ：（1）三角形，（2）四邊形（平行四邊形和梯形），（3）圓。

二、常見考點(diǎn)

（1）三角形（分類、面積的計(jì)算）

（2）四邊形：

①平行四邊形（長方形—正方形）

② 梯形：（周長和面積）

（3）圓：特征、周長、面積的計(jì)算

（4）組合圖形：面積的計(jì)算

三、考試形式

概念以及基本性質(zhì)的考察、公式運(yùn)用、平面圖形的周長、面積、高的求解，這類題目主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度較低。

平面幾何出現(xiàn)大題中，常見類型是求陰影面積。

平面圖形的面積問題一直是考察的重難點(diǎn)內(nèi)容，可分為規(guī)則、不規(guī)則以及組合圖形。

四、常見方法

一、填空題類型：

1、以某年TS試卷為例

填空題多考察基礎(chǔ)概念和性質(zhì)。

該題邊長增加1分米變?yōu)?6分米，面積變?yōu)?6*16=256平方分米。

原面積為15*15=225平方分米

增加了256-225=31平方分米。

做這類題目，需要注意它的常見陷阱---單位。首先要看題目中有沒有單位，沒有單位的我們要寫上，其次要看單位是否統(tǒng)一，不統(tǒng)一的要化成統(tǒng)一單位。此外，這些題目畫草圖也是一種好方法。

2、解答題類型，多以求陰影面積為主。此類題要注意方法。

（1）求下圖中的陰影面積

該種題型的方法是重新組合法，一句話就是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)情況，組合成一個(gè)新的組合圖形去求解。

組合后如下圖：

轉(zhuǎn)換成一個(gè)圓，一個(gè)正方形，直接求即可。

（2）求下列陰影部分面積

此類題型一般是用旋轉(zhuǎn)法，左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180度，使A與C重合，從而構(gòu)成下圖的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看做半圓面積減去中間等腰三角形的面積。

對于不規(guī)則圖形的面積通常比較難于求解．但掌握一些解題方法，有助于我們快速的解決問題。常見的平面圖形的面積的方法，除了上面兩種方法，還有直接求法，輔助線法，割補(bǔ)法，平移法，對稱添補(bǔ)法，大家在平面幾何專題的時(shí)候，務(wù)必重視這些基本方法。

幾種方法歸納：

（內(nèi)容轉(zhuǎn)自廣州樂學(xué)品讀行）

從兒時(shí)的初識長方形開始，再到中學(xué)的求相關(guān)幾何圖形的面積，其實(shí)我們一直都在接觸平面幾何圖形。

回到管理類聯(lián)考的考試當(dāng)中，平面幾何圖形也是一個(gè)繞不開的話題，其常見的考法有求邊長、求周長、求面積等，其中求平面幾何圖形的陰影部分面積是一個(gè)非常重要的考點(diǎn)。這一類題目能夠較好的考察考生的識圖能力和數(shù)學(xué)綜合知識，因此這類題比較靈活，很多同學(xué)看到這類題目無從下手，下面@鑫全講堂-廖衛(wèi)就通過幾個(gè)例題來幫助小伙伴們掌握這類問題的求解方法。

通過對歷年真題的分析，平面幾何圖形陰影部分面積的求法有兩種類型:一是求規(guī)則圖形(如三角形、矩形、梯形和扇形等)的面積;二是求不規(guī)則圖形的面積.對于前一種可直接應(yīng)用面積公式求其面積,比較簡單,在此不再贅述.對于后一種則需轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積問題求解，其解法包括和差法、等積法、割補(bǔ)法、方程法等其它的方法。

【技巧一】和差法

原理：我們可以通過觀察，來分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形面積的和或差來求，從而達(dá)到化繁為簡的目的。

例1.如右圖所示，正方形的內(nèi)切圓的半徑為r，這個(gè)正方形將它的外接圓分割出四個(gè)弓形，則這些弓形的面積之和為多少？

【技巧二】割補(bǔ)法

原理：將一個(gè)圖形的一部分割下來，而移放到其他合適位置上，從而構(gòu)成易求面積的圖形。例2.如右圖所示，ABCD是面積為1的正方形，△PBC為正三角形，則△PBD的面積為多少？

【技巧三】方程法

原理：將圖形按照形狀和大小等特征進(jìn)行分類，用未知數(shù)表示出不同圖形的面積，通過建立方程組來求解陰影部分面積的方法。

例3.如右圖所示，4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每個(gè)圓的半徑都是2厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？

當(dāng)然，平面幾何面積的求法不僅僅局限于這三種方法，如果說同學(xué)們有更好的解法或者對這幾題仍有所疑惑，則可以關(guān)注我的微博@鑫全講堂-廖衛(wèi)進(jìn)行交流。

我相信在解此類題目的時(shí)候，只要小伙伴們深入審題，具體問題具體分析，就一定能找到一種合理、簡潔、恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。