相似矩陣

設(shè)A，B和C是任意同階方陣，則有：

(1)A~A

(2) 若A~B，則B~A

(3) 若A~B，B~C，則A~C

(4) 若A~B，則r(A)=r(B)，|A|=|B|

(5) 若A~B，且A可逆，則B也可逆，且B~A。

(6) 若A~B，則A與B有相同的特征方程，有相同的特征值。

若A與對(duì)角矩陣相似，則稱A為可對(duì)角化矩陣，若n階方陣A有n個(gè)線性

無(wú)關(guān)的特征向量，則稱A為單純矩陣。

內(nèi)容分布圖示

★ 相似矩陣與相似變換的概念

★ 相似矩陣的性質(zhì)

★ 矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件

★ 矩陣對(duì)角化的步驟

★ 矩陣可對(duì)角化的條件

★ 矩陣對(duì)角化的應(yīng)用

★ 約當(dāng)形矩陣的概念

定義1設(shè)A,B都n是階矩陣, 若存在可逆矩陣P,使

P^(-1)AP=B,

則稱是的相似矩陣, 并稱矩陣與相似.記為.

對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換, 稱可逆矩陣為相似變換矩陣.

矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，滿足：

(1) 反身性: 對(duì)任意階矩陣,有相似;

(2)對(duì)稱性: 若相似, 則與相似;

(3) 傳遞性: 若與相似, 則與相似.

(1) ;

(2) , 其中為任意實(shí)數(shù).

定理1若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A與B的特征值亦相同.

相似矩陣的其它性質(zhì):

(1) 相似矩陣的秩相等;

(2) 相似矩陣的行列式相等;

(3) 相似矩陣具有相同的可逆性, 當(dāng)它們可逆時(shí),則它們的逆矩陣也相似.

定理2n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

注: 定理的證明過(guò)程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法.

推論1若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值,則A與對(duì)角矩陣

相似.

對(duì)于n階方陣A,若存在可逆矩陣P, 使為對(duì)角陣, 則稱方陣A可對(duì)角化.

定理3n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是對(duì)應(yīng)于A的每個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù). 即設(shè)是矩陣A的重特征值, 則

A與相似。

若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn):

(1) 求出的全部特征值;

(2) 對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為,則對(duì)應(yīng)齊次方程組

的基礎(chǔ)解系由個(gè)向量構(gòu)成, 即為對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量；

(3) 上面求出的特征向量

恰好為矩陣的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;

(4) 令, 則

1．利用矩陣對(duì)角化計(jì)算矩陣多項(xiàng)式

定理4設(shè)是矩陣A的特征多項(xiàng)式,則.

2．利用矩陣對(duì)角化求解線性微分方程組

3．利用矩陣對(duì)角化求解線性方程組

在某城市有15萬(wàn)具有本科以上學(xué)歷的人,其中有1.5萬(wàn)人是教師,據(jù)調(diào)查,平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)為其他職業(yè),又有1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)為教師職業(yè),試預(yù)測(cè)10年以后這15萬(wàn)人中有多少人在從事教師職業(yè).

定義2在n階矩陣A中, 形如的矩陣稱為約當(dāng)塊.

若一個(gè)分塊矩陣的所有子塊都是約當(dāng)塊, 即

中都是約當(dāng)塊,則稱J為約當(dāng)形矩陣,或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

注:對(duì)角矩陣可視為每個(gè)約當(dāng)塊都為一階的約當(dāng)形矩陣.

定理5對(duì)任意一個(gè)n階矩陣A,都存在n階可逆矩陣T使得

即任一n階矩陣A都與n階約當(dāng)矩陣J相似.

例題選講：

例1 (講義例1)設(shè)有矩陣 試驗(yàn)證存在可逆矩陣, 使得A與B相似.

例2

容易算出A與B的特征多項(xiàng)式均為但可以證明A與B不相似. 事實(shí)上,A是一個(gè)單位陣, 對(duì)任意的非異陣P有

因此若B與A相似,B也必須是單位陣, 而現(xiàn)在B不是單位陣.所以A與B不相似

例3 (講義例2)試對(duì)矩陣驗(yàn)證前述定理2的結(jié)論.

例4 (講義例3)試對(duì)矩陣驗(yàn)證定理2的結(jié)論.

注: 本例子說(shuō)明了A的特征值不全互異時(shí),A也可能化為對(duì)角矩陣.

例5 (講義例4)判斷矩陣能否化為對(duì)角陣.

例6 (講義例5)設(shè) 問(wèn)為何值時(shí), 矩陣能對(duì)角化?

例7下列矩陣是約當(dāng)型矩陣(虛線是為了更清楚地表示分塊情況而加上去的):

(4); (5)

(4)是一個(gè)對(duì)角陣, 它可看成是由4個(gè)1階約當(dāng)塊組成的約當(dāng)型矩陣. 一般來(lái)說(shuō), 一個(gè)n階對(duì)角陣可看成為由n個(gè)1階約當(dāng)塊組成的約當(dāng)型矩陣. 也就是說(shuō)對(duì)角陣是約當(dāng)型矩陣的特殊情況.

(5)是由3個(gè)約當(dāng)塊組成的約當(dāng)型矩陣, 其中左上角一塊是一個(gè)1階零矩陣, 它也是一個(gè)約當(dāng)塊.

例8下列矩陣不是約當(dāng)型矩陣:

(1); (2);

(3); (4).

(1)中, 右下方一塊主對(duì)角線上元素不相同, 因此不是約當(dāng)塊.

(2)的主對(duì)角線上元素不相同.

(3)的右下方一塊主對(duì)角線上方的元素是而不是1, 因此也不是約當(dāng)塊.

(4)的右下方一塊主對(duì)角線上方的元素是而不是1, 因此也不是約當(dāng)塊.

例9設(shè)矩陣

可求出它的特征值為2,1,1. 又可用解線性方程組的辦法求出A的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè):

其中是關(guān)于特征值2的特征向量, 是關(guān)于特征值1的特征向量. 由于A的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為2, 小于A的階數(shù), 所以A不可能相似于一個(gè)對(duì)角陣. 但可以證明A與下列約當(dāng)型矩陣J相似:

設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

("P^(-1)"表示P的-1次冪,也就是P的逆矩陣, "*" 表示乘號(hào), "~" 讀作"相似于".)