第一型曲面積分計(jì)算

設(shè)空間曲面S的方程為

其中

設(shè)

第一型曲面積分具有下述一些重要性質(zhì) :

1)．若

2)．若曲面

3)．若

4)．若

下面給出二個(gè)常用的應(yīng)用。

1)空間曲面S的重心坐標(biāo)為

2)曲面S繞z軸(x, y軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

其中

轉(zhuǎn)化為二重積分，必須注意兩個(gè)問(wèn)題：

(1)將曲面S向相應(yīng)的坐標(biāo)平面投影，求得二重積分的積分區(qū)域。

(2)根據(jù)曲面的側(cè)（即法向量的方向）確定二重積分的符號(hào)。

根據(jù)積分表達(dá)式，確定投影平面，如要計(jì)算

得二重積分的積分區(qū)域D_yz，此時(shí)

同理

第二型曲面積分的物理背景是流量的計(jì)算問(wèn)題。設(shè)某流體的流速為v=((P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z))從某雙側(cè)曲面S的一側(cè)流向另一側(cè)，求單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)該曲面的流量。由于是有向曲面，設(shè)它的單位法向量為n=(cosα，cosβ，cosγ)，取曲面面積微元dS，則所求的單位時(shí)間內(nèi)流量微元就是dE=(v·n)dS，若記有向曲面向量微元為dS=ndS，則dE=v·dS，那么，所求的通過(guò)整個(gè)曲面S的流量為

這種類型的積分稱為第二型曲面積分 。P(x，y，z)稱為被積函數(shù)，S稱為積分曲面。

第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì) :

1)．若

2)．若曲線段

3)．若

4)．若