超高層鋼結(jié)構(gòu)復(fù)雜空間坐標(biāo)測量定位工法應(yīng)用實例

極坐標(biāo)數(shù)字?jǐn)z影測量理論與空間信息坐標(biāo)體系初探

晏磊1 , 陳瑞1 , 孫巖標(biāo)2

1. 北京大學(xué)空間信息集成與3S工程應(yīng)用北京市重點實驗室, 北京 100871;

2. 倫敦大學(xué)學(xué)院土木、環(huán)境與地理工程學(xué)院, 倫敦 WCIE 6BT, 英國

收稿日期：2018-02-01；修回日期：2018-04-12

基金項目：國家重大計劃研發(fā)項目（2017YFB0503004）；國家自然科學(xué)基金（41571432；61101157；41050110441）；國家863計劃（2007AA09Z201）；國家支撐計劃項目課題（2011BAH12B06）

第一作者簡介：晏磊(1956—), 男, 博士, 教授, 研究方向為高分辨率成像與遙感定標(biāo); 偏振與無人機(jī)仿生遙感; 時空信息控制與仿生智能攝影測量。E-mail:lyan@pku.edu.cn

摘要：空間信息獲取手段的多樣性與數(shù)據(jù)處理的嚴(yán)密數(shù)學(xué)法則約束不變性，是航空航天新技術(shù)發(fā)展伴生的新矛盾。例如推掃式、變角擺頭凝視、變焦距成像，航空平臺動姿態(tài)、大角度飛行，高重疊、短基線效應(yīng)，給處理收斂性、效率、精度、抗干擾性等帶來挑戰(zhàn)。為此基于仿生機(jī)器視差角原理和航空航天平臺到地面成像的錐體投影本質(zhì)，引入極坐標(biāo)數(shù)學(xué)表達(dá)。文章探求了高分辨率影像稀疏性特征及病態(tài)奇異性和非收斂性破解方法，建立了一套視差角矢量極坐標(biāo)處理數(shù)學(xué)模型，初步形成了極坐標(biāo)理論；該方法在近景攝影測量與自由網(wǎng)光束法平差模型中，精度、效率、抗干擾性均有數(shù)量級提高，并在國際公開源代碼3年以上，應(yīng)用良好；在航空攝影測量及絕對網(wǎng)平差模型試驗中進(jìn)行了有效性驗證，初步證明性能優(yōu)于直角坐標(biāo)處理方法；最后，給出多種應(yīng)用、航天平臺動姿態(tài)高階解算特征，可望為航空航天多尺度全姿態(tài)空間信息（獲取-組織-管理-存儲-處理-應(yīng)用）極坐標(biāo)新體系構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：仿生機(jī)器視覺智能攝影測量極坐標(biāo)矢量空間信息, 病態(tài)奇異收斂精度

A Preliminary Study on the Theory of Polar Coordinates Digital Photogrammetry and the Coordinate System of Spatial Information

YAN Lei1 , CHEN Rui1 , SUN Yanbiao2

Abstract: The diversity of means of obtaining space information and the tight constraints of the strict mathematical rules of data processing are the new contradictions associated with the development of the new aeronautics and astronautics technology.For example, push broom, variable angle swing staring, zoom imaging, aerial platform attitude, large angle flight, high overlap and short baseline effect, which bring severe challenges to convergence, efficiency, accuracy and anti-interference.Based on the principle of the bionic machine parallax angle and the essence of pyramidal projection of the aerial space platform to the surface, the mathematical expression of polar coordinates is introduced.This paper has explored the solution to the causes of the high resolution image sparsity ill conditioned singularity and nonconvergence, built a set of mathematical models for the polar coordinates processing of the parallax angular vector, and formed the polar information theory of spatial information initially.This method has been improved in the range of accuracy, efficiency and anti-interference order of magnitude in close-range photogrammetry and the free net bundle adjustment model, and publish open source code in the world more than three years, which has a good reaction.The effectiveness is verified in the aero photogrammetry and absolute network adjustment model experiment, and the performance is better than the Descartes coordinate processing method.Finally, the high-order solution characteristics of various applications and spaceflight platforms are given, which is expected to lay the foundation for the construction of the new polar coordinates system for aerospace multi-scale all attitude spatial information (acquisition organization management storage processing application).

Key words: bionic machine visionintelligent photogrammetrypolar coordinates vectorspatial informationastringencyconvergence precision

1 問題引出

數(shù)字?jǐn)z影測量技術(shù)在各行各業(yè)中發(fā)揮著越來越重要的作用，主要包括近景攝影測量、航空攝影測量和航天攝影測量。

從我國攝影測量發(fā)展進(jìn)程上看，主要有兩個學(xué)術(shù)思路：一是以王之卓等為奠基的直角坐標(biāo)系攝影測量理論[1]，服務(wù)于現(xiàn)有近景和常規(guī)攝影測量有效，至今遙感測繪對地觀測領(lǐng)域幾乎全部沿用這個體系；二是基于射線角的極坐標(biāo)攝影測量方法，20世紀(jì)50年代唐山鐵道學(xué)院羅河[2]和中國地質(zhì)大學(xué)的周卡[3]，從射線角出發(fā)證實了對直角坐標(biāo)系矩陣病態(tài)解算有改觀，對高階奇異的現(xiàn)象有所緩解，但沒有成功地從數(shù)學(xué)原理上加以系統(tǒng)推導(dǎo)和證明，亦沒有上升到理論創(chuàng)建的高度，致使其后期的逐步消沉。近10余年，本文針對直角坐標(biāo)系攝影測量方法在航空航天和近景攝影測量新技術(shù)處理中遇到的解算效率降低、精度下降甚至發(fā)散等問題，基于國外仿生機(jī)器視覺原理，引入了極坐標(biāo)方法，初步為構(gòu)建面向航空航天的極坐標(biāo)攝影測量的相關(guān)理論體系[4-7]奠定了基礎(chǔ)。

1.1 攝影測量解算中的病態(tài)問題

航天觀測直角坐標(biāo)系垂直參量Z相對于其他兩個平面參量具有式(1)特征

(1)

因此，當(dāng)三軸具有相同量級的增量值時(例如同一相機(jī)拍攝空間影像具有三軸相同的分辨率)，Z軸的相對增量遠(yuǎn)小于平面相對增量。

(2)

這是三維影像在Z軸方向交角極小時產(chǎn)生病態(tài)奇異性的根源，即高程增量相對于平面增量相比非常微小。當(dāng)然此時的微小值不是絕對的0值，因此三維相對誤差計算矩陣盡管滿秩不相關(guān)，但實質(zhì)上Z軸相對增量趨于零值會導(dǎo)致法方程具有極弱正定性[8]，成為引發(fā)計算發(fā)散的根源。

為了避免發(fā)散，有3種方法可以降低病態(tài)奇異性。

其一，可以“放大”Z軸相對增量相應(yīng)量級，這樣與平面相對參量相“適應(yīng)”，消除奇異性；但同時把Z軸高程誤差也同量級放大，“淹沒”了高分辨率的精準(zhǔn)辨識力，影像失去應(yīng)有的高分辨率精度水平。

其二，布設(shè)大量地面控制點，以降低病態(tài)性，但成本巨大且違背了不要或少要地面控制點的產(chǎn)業(yè)發(fā)展原則，且在境外及特殊領(lǐng)域無法實測地面控制點。

其三，選擇數(shù)學(xué)方法。首先人們嘗試局部數(shù)學(xué)的改進(jìn)。例如20世紀(jì)90年代提出的Inverse depth方法[9-12]，即1/Z方法。實際上是它針對較復(fù)雜的近景攝影測量中無窮遠(yuǎn)特征點在XYZ坐標(biāo)中Z無窮大的問題，采用特征點深度的倒數(shù)，以及相機(jī)中心到特征點觀測向量的方位角與高程角，同時結(jié)合在全局坐標(biāo)系中被稱為“錨點”的相機(jī)中心來表達(dá)，可以實現(xiàn)法方程非奇異，但例如近景攝影測量中可能某個特征點離相機(jī)很近，采用此方法表示與解算會使法方程奇異，解算發(fā)散。

分析可知，直角坐標(biāo)系X、Y、Z采用長度單位米(m)作為度量，相對比較會產(chǎn)生式(1)與式(2)的微小和極大數(shù)值的多量級差異，使得法方程病態(tài)。

由此引入極坐標(biāo)。將平面ΔX、ΔY增量m的度量單位轉(zhuǎn)化為弧度增量Δθ、Δφ度量單位，ΔZ以Δr表征而保留m的度量單位如下

(3)

極坐標(biāo)系表達(dá)方法避免了原有法方程中的微小值，從源端去除法方程的病態(tài)奇異性，根本上避免發(fā)散。例如上述1/Z方法遠(yuǎn)近特征點的表達(dá)局限性問題，避免由于過遠(yuǎn)或過近特征點的存在造成發(fā)散。

1.2 極坐標(biāo)理論試驗系統(tǒng)及分析

本文基于極坐標(biāo)方法，采用多種極坐標(biāo)視差角空間儀器試驗系統(tǒng)(圖 1)，以探索直角坐標(biāo)影像處理機(jī)制面對長距離或高重疊投影等易導(dǎo)致交會角偏小，方程易呈病態(tài)奇異性問題；推掃式、變角擺頭凝視、變焦成像、動姿態(tài)、大角度等新技術(shù)引發(fā)的更易為極坐標(biāo)體系破解的問題；以及快速收斂和三維測量的需求，進(jìn)而為探索空間信息極坐標(biāo)方法體系奠定基礎(chǔ)。

其次，從觀測過程看，空間信息以角度為特征，其來自于地球的經(jīng)緯度，最終的產(chǎn)品也以經(jīng)緯度的方式進(jìn)行表達(dá)，由于歷史原因，中間一般采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行處理。若能直接采用極坐標(biāo)系，將使得地物信息的表達(dá)更為直接。尤其是，高分辨率使得經(jīng)緯直線表達(dá)的方式越來越需要以弧長來精化表征，即恰恰以矢徑與微增量夾角表達(dá)更直接，從而降低由于三維直角分解原始參量而引發(fā)的計算源端誤差。

其三，基于2n及整型一維數(shù)組的全球經(jīng)緯度剖分網(wǎng)格[13-15]的“地球空間網(wǎng)格與編碼”已被公開頒布為國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 8896—2017，它是基于經(jīng)緯度坐標(biāo)和地心坐標(biāo)體系來定義的空間信息組織、管理和存儲的標(biāo)準(zhǔn)，對軍民兩用都具有強(qiáng)制性，因而可以用極坐標(biāo)表達(dá)，如果再結(jié)合本文的極坐標(biāo)空間信息獲取和處理方法，有望為新一代空間信息獲取-組織-管理-存儲-處理-應(yīng)用一體化的極坐標(biāo)體系構(gòu)建確立基礎(chǔ)。

2 極坐標(biāo)理論方法

本節(jié)從數(shù)學(xué)上證明極坐標(biāo)系統(tǒng)避免解算的非收斂性，并通過理論證明極坐標(biāo)矢量系統(tǒng)解算能使復(fù)雜姿態(tài)和大角度場景下影像解算收斂，并達(dá)到精度-效率-抗干擾性統(tǒng)一。

2.1 矢量坐標(biāo)體系對非收斂性破解

由于二維場景中的成像原理與三維場景中類似且更易于理解分析，因此，討論二維場景情況。為與直角坐標(biāo)數(shù)據(jù)直接相連，在本文提及的極坐標(biāo)系統(tǒng)中，表示相機(jī)姿態(tài)的外方位元素仍然沿用在地面直角坐標(biāo)系統(tǒng)中的表達(dá)，而極坐標(biāo)系的建立針對影像中的像點，確定其主錨點和副錨點，以及主副錨點間基線方向和長度后，在此極坐標(biāo)系統(tǒng)中表達(dá)像點坐標(biāo)。

圖 2[16]中，假設(shè)相機(jī)1中心為坐標(biāo)系原點。2臺相機(jī)間距為‖t‖常量，在局部坐標(biāo)系下的方向角為?1、?2，相機(jī)基線的方向角為?t，因此，相機(jī)1的位置表示為(?1, 0, 0)，同理，相機(jī)2的位置為(?2, ‖t‖cos ?t, ‖t‖sin ?t)。在二維場景下，選取第一個相機(jī)為特征點主錨點，在直角坐標(biāo)系下可以表示為

(4)

d表示特征點到主錨點的深度信息；θ表示特征點在局部坐標(biāo)系下的方向角，等價于

(5)

θ1表示特征點在其主錨點上的觀測角的真值。

在極坐標(biāo)系下，特征點可以表示為

(6)

ω表示主錨點和副錨點到像點光線間的夾角，稱之為“視差角”。

為與三維光束法平差模型中以二維圖像特征點作為觀測值相區(qū)別，在二維場景中，特征點在兩個相機(jī)上的觀測量為兩個局部觀測角，即θ1、θ2，見圖 2。光束法平差的數(shù)學(xué)本質(zhì)為非線性最小二乘優(yōu)化問題[17-19]，迭代求解的公式可以表示為

(7)

假設(shè)所有觀測誤差為高斯白噪聲，可以認(rèn)為是等權(quán)的，即Qz-1=E，式(7)可以簡化為

(8)

JTJ為法方程，當(dāng)問題收斂時，JTJ表示為信息矩陣，即變量的不確定度。式(8)表明，法方程的奇異性直接影響光束法平差的收斂性。若法方程奇異，法方程無法求逆，則利用Gauss-Newton無法進(jìn)行數(shù)值計算，此時光束法平差問題發(fā)散。

直角參數(shù)空間光束法平差的觀測量為θ1、θ2，變量為(θ, d)，其最小二乘優(yōu)化問題可以表示為

(9)

f1(θ, d)和f2(θ, d)分別為特征點在兩個相機(jī)上的觀測方程，可以表示為式(10)、式(11)。

(10)

(11)

兩個觀測方程對變量(θ, d)的一階導(dǎo)數(shù)組成了Jacobi矩陣

(12)

根據(jù)式(8)，直角參數(shù)空間的光束法平差模型法方程可以表示為

(13)

判斷法方程是否奇異，可以通過行列式是否為0來計算。式(13)的行列式等于 的平方

(14)

式中， 可以表示為下式

(15)

式(15)表明，直角坐標(biāo)系下在兩種情況下行列式為零，法方程非正定，光束法平差模型發(fā)散。情況一：特征點在相機(jī)正前方，即φ→0，此時視差角ω?zé)o窮小。情況二：特征點在無窮遠(yuǎn)位置，即d→∝，此時深度信息非常大，光束法平差方法無法準(zhǔn)確預(yù)估深度真值，造成光束法平差問題發(fā)散。由此，從數(shù)學(xué)上解釋了直角坐標(biāo)發(fā)散的根源。

極坐標(biāo)系中觀測量仍為θ1、θ2，變量為(θ, ω)，其最小二乘優(yōu)化問題可以表示為公式

(16)

其中，f1(θ, ω)和f2(θ, ω)分別表示為

(17)

(18)

兩個觀測方程對變量(θ, ω)的一階導(dǎo)數(shù)組成了Jacobi矩陣

(19)

故其法方程可以表示為

(20)

表明極坐標(biāo)參數(shù)空間下的光束法平差模型在二維場景下的法方程行列式為1，即法方程正定，解算收斂。

綜上，極坐標(biāo)參數(shù)空間下法方程相比于直角參數(shù)空間的法方程，不受特征點深度長短和視差角大小影響，其法方程為恒正定的，避免了其奇異性風(fēng)險。

參數(shù)變量對觀測誤差敏感度也影響著解算的收斂性。假設(shè)觀測變量帶有觀測噪聲

(21)

θ1和θ2為觀測真值；θ1Δ和θ2Δ為觀測噪聲，假設(shè)θ1Δ和θ2Δ均滿足N(0，σ2)正態(tài)分布。在直角坐標(biāo)系下，假設(shè)φ和φ是相機(jī)基線到第一個相機(jī)觀測方向角度的計算值和真值，因此

(22)

根據(jù)正弦定理，真實的深度信息可以表示為

(23)

而計算的深度信息為

(24)

因此，深度信息對觀測誤差θ1Δ、θ2Δ的一階導(dǎo)數(shù)為

(25)

式(25)表明，θ2Δ-θ1Δ≈0，當(dāng)視差角較小(ω→0)時，深度信息變量對觀測誤差的一階導(dǎo)數(shù)無窮大，說明原函數(shù)在其定義區(qū)間不連續(xù)，在視差角無窮小的情況下迭代解算沒有對應(yīng)的定值。因此理論上證明，在小視差角的攝影條件下，直角坐標(biāo)參數(shù)空間的深度信息對觀測誤差極度敏感，在直角系下解算易于發(fā)散。

極坐標(biāo)參數(shù)空間的光束法平差模型中(圖 2、圖 3[20])，真實的視差角可以表示為

(26)

同時，計算的視差角表示為

(27)

因此

(28)

式(28)表明在極坐標(biāo)系下，參數(shù)變量對觀測誤差的一階導(dǎo)數(shù)為定值1，表明原函數(shù)在其定義空間中連續(xù)，即原圖像有解，確保收斂。符號代表視差角逼近0時的方向，無論是右極限還是左極限，迭代均能很好地趨于一個定值，解算收斂。同時，正負(fù)值代表了視差角趨零的方向性，加上數(shù)值形成矢量域。

綜上，直角坐標(biāo)系的數(shù)值沒有方向性，本質(zhì)是標(biāo)量參考系，是矢量系的一個特例，即沒有代表方位方向選擇性的數(shù)值大小。而極坐標(biāo)是方向+數(shù)值要素，是矢量參考系，可以更為全面地表達(dá)地物信息。因此，極坐標(biāo)系統(tǒng)更為先進(jìn)、簡潔、應(yīng)用范圍更加廣泛。

2.2 極坐標(biāo)光束法平差模型

經(jīng)典直角坐標(biāo)系(X, Y, Z)可以非常直接簡單地表達(dá)三維特征點，但是這種表達(dá)方式可能會在一些特殊場景結(jié)構(gòu)下失敗。比如，當(dāng)特征點無窮遠(yuǎn)或者視差角較小甚至接近于0的情況下，Z很難用具體數(shù)字刻畫(圖 4)。近景攝影測量中，對于高維非線性優(yōu)化的光束法平差模型，只要存在這樣的一個點，就可能會造成優(yōu)化問題發(fā)散。所以經(jīng)典方法并不是一個適用于所有場合的表示方法。為了從數(shù)學(xué)上完整表達(dá)所有情況下的特征點，本節(jié)采用極坐標(biāo)基準(zhǔn)下的角度參數(shù)化來表達(dá)三維特征點，即F=(φ, θ, ω)，如圖 3。

當(dāng)主副錨點選定后，二維特征點坐標(biāo)和三維視差角參數(shù)的變換關(guān)系(觀測方程)可表示為

(29)

(30)

極坐標(biāo)光束法平差模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)為非線性最小二乘優(yōu)化，優(yōu)化變量包括所有相機(jī)姿態(tài)位置和加密點的極坐標(biāo)參數(shù)，即X=[α β γ XS YS ZS ? θ ω]；優(yōu)化的觀測量為二維圖像坐標(biāo)z=[u v]，且圖像特征點的權(quán)重為Qz-1。在極坐標(biāo)光束法平差模型中需要估算出最佳的未知參數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)(式(31))最小。

(31)

f(X)表示三維點在圖像上投影的觀測方程，即式(29)。因觀測方程為非線性，故該優(yōu)化問題變成非線性優(yōu)化問題。

給定所有變量的初值X0，對觀測方程進(jìn)行泰勒級數(shù)展開可以得到

(32)

式中, J表示觀測值對所有未知數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。將式(32)代入式(31)，可以得到線性最小二乘優(yōu)化方程式

(33)

對于式(33)的極值點，其一階導(dǎo)數(shù)必須為0，因此，得到下式

(34)

故未知數(shù)的增量可以通過式(35)求解。

(35)

計算得到增量Δ后，新的未知參數(shù)可以更新為

(36)

式(33)中，z-f(X0)表示誤差方程，半正定矩陣JTQz-1J表示法方程。然后通過非線性最小二乘優(yōu)化方法求解式(33)，得到迭代結(jié)果。

3 極坐標(biāo)下航空遙感影像處理試驗

本節(jié)通過真實的試驗數(shù)據(jù)驗證極坐標(biāo)光束法平差模型的精度與效率。

3.1 極坐標(biāo)光束法平差模型收斂性與抗干擾性試驗

通過采用國內(nèi)外現(xiàn)有方法開源數(shù)據(jù)解算試驗，如G20, sSBA以及本團(tuán)隊ParallaxBA LM和ParallaxBA GN。此外，又對比了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下解算結(jié)果對噪聲誤差的敏感度，所得結(jié)果如圖 5、圖 6所示[4]。

圖 5表示極坐標(biāo)方法與國際現(xiàn)行直角坐標(biāo)方法，在采用同一數(shù)據(jù)源時，處理效率可提高2~3個數(shù)量級，結(jié)果精度可提高1個數(shù)量級，且解算結(jié)果對誤差的敏感度大大降低，即在針對高分辨率遙感影像處理中，基于極坐標(biāo)系統(tǒng)的方法能夠更加快速收斂、保障精度。圖 6[5]表示不同坐標(biāo)體系下的收斂情況，圖 6(a)勾畫了深度變量從-100 m到+100 m時的目標(biāo)函數(shù)值，結(jié)果表明直角坐標(biāo)系下的光束法平差目標(biāo)函數(shù)呈平谷狀，故為找到其極值點，需要較多次數(shù)的迭代才能收斂；此外，放大的曲線局部圖表明，當(dāng)初值選在局部極小值右側(cè)時，迭代結(jié)果只能取得極小值，無法獲得最小值。即使針對微小量采用反向計算即倒數(shù)迭代方式，也會出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象。故直角坐標(biāo)系下的解算對初始值選取具有很高的依賴性。圖 6(b)勾畫了在極坐標(biāo)系下視差角變量從-3.14 rad到+3.14 rad的目標(biāo)函數(shù)值，其目標(biāo)函數(shù)呈二次曲線分布，只需要較少迭代次數(shù)便可得到收斂值，無論初始值精度如何，結(jié)果精度都能迭代至最小值，即使曲線中間存在極小值，也能夠通過函數(shù)的“慣性勢能”到達(dá)最小值，結(jié)果準(zhǔn)確度提高。因此極坐標(biāo)系下最優(yōu)解對初值依賴性小。

抗干擾性表現(xiàn)為對誤差的敏感度。式(21)—式(28)表明，當(dāng)小視差角(ω→0)攝影條件時，直角參數(shù)空間下的光束法平差的變量對觀測誤差有著很強(qiáng)的敏感性，會造成不易收斂或者發(fā)散；但對于極坐標(biāo)參數(shù)空間下的光束法平差模型，無論攝影條件如何，變量的誤差和觀測誤差屬于同一量級。因此，在極坐標(biāo)系下光束法平差的抗干擾性可以得到保障。

需要強(qiáng)調(diào)的是，上述在極坐標(biāo)系中處理獲得的結(jié)果不依賴于地面控制點，從而為實現(xiàn)無地面控制點的高分辨率遙感影像精密處理測量提供了可能。

上述成果體現(xiàn)在團(tuán)隊2011—2015年間所發(fā)表的系列文獻(xiàn)[4-7, 21-22]中，在OpenSLAM上公布了Parallax BA源代碼，經(jīng)過近3年全球應(yīng)用和世界上不同用戶的不斷反饋意見，證明了其可用性。詳細(xì)解算過程參見代碼：http://openslam.org/ParallaxBA.html，歡迎本領(lǐng)域的中國學(xué)者支持使用并提出問題，為未來Parallax BA-2源代碼發(fā)展和世界公布提供幫助。

3.2 航空攝影測量數(shù)據(jù)驗證

本節(jié)采用3組航空攝影測量數(shù)據(jù)，驗證極坐標(biāo)光束法平差模型(ParallaxBA)[14, 19-20]的性能，給定相同的初值，比較最后收斂的MSE、迭代次數(shù)和運行效率。所用到的G20和sSBA算法為直角坐標(biāo)模型，ParallaxBA為本團(tuán)隊極坐標(biāo)模型。G20和sSBA的軟件包在Windows平臺上解算效率非常低，但在Linux平臺有著最佳效率性能。為了說明極坐標(biāo)的特點，故在所有試驗中只取用直角坐標(biāo)平差模型最好的結(jié)果即在Linux系統(tǒng)中的計算結(jié)果，與本文極坐標(biāo)體系方法ParallaxBA法的Windows和Linux平臺的結(jié)果一一列出進(jìn)行比較。此外，G20和sSBA的相機(jī)初值為四元數(shù)，而ParallaxBA的相機(jī)初值為歐拉角，因為四元數(shù)和歐拉角之間的轉(zhuǎn)換存在微小的數(shù)值誤差，故G20、sSBA與ParallaxBA的初值存在細(xì)微差別，但可以忽略。G20軟件包中選用Gauss-Newton優(yōu)化進(jìn)行光束法平差的方法記為G20 GN，G20軟件包中選用Levenberg-Marquardt優(yōu)化進(jìn)行光束法平差的方法記為G20 LM；類似的對于ParallaxBA，Gauss-Newton和Levenberg- Marquardt優(yōu)化的光束法平差的方法分別記作ParallaxBA GN和ParallaxBA LM；由于sSBA只有Levenberg-Marquardt優(yōu)化方法，故sSBA LM等價于sSBA[8]。

3.2.1 Vaihingen數(shù)據(jù)集

參與平差的數(shù)據(jù)包括20個相機(jī)，554 914個三維特征點，故平差中的未知數(shù)為1 664 862、觀測方程數(shù)為2 409 776。將上述變量和觀測量輸入到G20、sSBA和ParallaxBA中，在保證有相同的初值(初始MSE)時，收斂精度(收斂MSE)、迭代次數(shù)、線性方程數(shù)和運行時間見表 1；3種軟件包的每次迭代的目標(biāo)函數(shù)曲線見圖 7。G20的GN優(yōu)化的平差因法方程奇異造成平差問題發(fā)散，利用LM優(yōu)化法，需要200次迭代才能收斂到135.06。sSBA、ParallaxBA GN和ParallaxBA LM均可收斂到0.126 012，且迭代次數(shù)相近，分別為8、6和20次。時間效率上，ParallaxBA GN和ParallaxBA LM版本平差的效率分別是G20效率的38.7和10倍。而ParallaxBA與sSBA的時間效率相近。平差的最終結(jié)果見圖 8和圖 9。圖 8為重建出Vaihingen的三維點和相機(jī)姿態(tài)，其中三角錐為相機(jī)，藍(lán)色點為重建點云。圖 9為Vaihingen的三維點，顏色不具有任何實際物理意義。

表 1Vaihingen數(shù)據(jù)集的G20、sSBA和ParallaxBA收斂性Tab. 1The convergence of G20, sSBA, and ParallaxBA for Vaihingen datasets

3.2.2 College數(shù)據(jù)集

試驗采用信息工程大學(xué)提供的一組多姿態(tài)航攝影像數(shù)據(jù)進(jìn)行，參與平差的數(shù)據(jù)包括468個相機(jī)，1 236 502個三維特征點，故平差中的未知數(shù)為3 712 314，觀測方程數(shù)為6 215 048。將上述變量和觀測量輸入到G20、sSBA和ParallaxBA中，在保證有相同的初值(初始MSE)時，最后的收斂精度(收斂MSE)、迭代次數(shù)、線性方程數(shù)和運行時間見表 2；另外三種軟件包的每次迭代的目標(biāo)函數(shù)曲線見圖 10。G20的GN優(yōu)化的平差因法方程奇異造成平差問題發(fā)散，利用LM優(yōu)化法，需要200次迭代才能收斂到25.723 307；sSBA需要200次迭代才能收斂到9.272 481。ParallaxBA只需要12次或17次迭代便可收斂到更小的值，即0.734 738。時間效率上，ParallaxBA GN版本平差的效率分別是G20和sSBA效率的18倍和12倍；ParallaxBA LM版本平差的效率分別是G20和sSBA效率的12和9倍。平差的最終結(jié)果見圖 11、圖 12。圖 11為重建出College的三維點和相機(jī)姿態(tài)，其中三角錐為相機(jī)，深色點為重建點云。圖 12為College的三維點，顏色不具有任何實際物理意義。

表 2College數(shù)據(jù)集的G20、sSBA和ParallaxBA收斂性Tab. 2The convergence of G20, sSBA, and ParallaxBA for College data sets

3.2.3 Village數(shù)據(jù)集

試驗采用國家航空遙感數(shù)據(jù)獲取與服務(wù)技術(shù)創(chuàng)新聯(lián)盟第一屆理事長單位北京星天地信息科技有限公司的數(shù)據(jù)。以長期生產(chǎn)作業(yè)挑選的航飛數(shù)據(jù)，檢驗視差角極坐標(biāo)新方法；且平差過程中沒有使用任何地面控制點，以檢驗無地面控制點時平差的精度和效率。

參與平差的數(shù)據(jù)包括90個相機(jī)、305 719個三維特征點，故平差中的未知數(shù)為917 697，觀測方程數(shù)為1 558 536。將上述變量和觀測量輸入到G20、sSBA和ParallaxBA中，在保證有相同的初值(初始MSE)時，收斂精度(收斂MSE)、迭代次數(shù)、線性方程數(shù)和運行時間見表 3；另外3種軟件包的每次迭代的目標(biāo)函數(shù)曲線見圖 13。G20的GN優(yōu)化的平差因法方程奇異造成平差問題發(fā)散，利用LM優(yōu)化法，需要34次迭代才能收斂到0.083 716。sSBA和ParallaxBA均可收斂到0.083 716，且迭代次數(shù)相近，時間效率相近，分別為8、6和11次。時間效率上，ParallaxBA GN和ParallaxBA LM版本平差的效率分別是G20效率的5.2和3.7倍。平差的最終結(jié)果見圖 14和圖 15。圖 14為重建出Village的三維點和相機(jī)姿態(tài)，其中三角錐為相機(jī)，深色點為重建點云。圖 15為Village的三維點，顏色不具有任何實際物理意義。

表 3Village數(shù)據(jù)集的G20、sSBA和ParallaxBA收斂性Tab. 3The convergence of G20, sSBA, and ParallaxBA for Village data sets

通過分析發(fā)現(xiàn)：①極坐標(biāo)系光束法平差模型處理常規(guī)情況下的航空遙感影像時，在精度、效率上比直角坐標(biāo)方法有數(shù)量級提高，且在不同平臺下都能較好的收斂，無發(fā)散現(xiàn)象；②對于直角坐標(biāo)系平差模型，采用了其效果較好的情況(如Linux平臺)，而將極坐標(biāo)系光束法平差的Linux和Windows平臺下的結(jié)果一一列出，說明極坐標(biāo)系光束法平差模型對操作系統(tǒng)依賴性低，具有較好的可移植性，而直角坐標(biāo)方法對平臺差異較為敏感；③試驗中采用的直角坐標(biāo)方法是現(xiàn)有的成熟開源軟件，而極坐標(biāo)平差模型是初期的編譯代碼，軟件的成熟程度對處理結(jié)果的質(zhì)量也存在較大影響，若將此方法完善成為成熟軟件，則在精度和效率上再提高數(shù)倍或一個量級是有可能的。

試驗(3)采用了在實際生產(chǎn)作業(yè)中直角坐標(biāo)體系方法無法實現(xiàn)拼接的航攝影像，在無地面控制點參與平差的情況下利用極坐標(biāo)方法實現(xiàn)了影像特征提取和拼接，為實現(xiàn)基于極坐標(biāo)的去地面控制點影像解算的產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；此方法也適應(yīng)于大量航空影像數(shù)據(jù)的處理。因此極坐標(biāo)自由網(wǎng)光束法平差模型既可以處理常規(guī)場景數(shù)據(jù)(穩(wěn)定的飛行姿態(tài)及簡單的幾何攝影結(jié)構(gòu))，也可以高穩(wěn)健性處理復(fù)雜攝影場景數(shù)據(jù)(如近景拍攝影像、無人機(jī)航攝、多姿態(tài)飛行攝影等)。

4 極坐標(biāo)系統(tǒng)絕對定向

如何在現(xiàn)有自由網(wǎng)平差模型的基礎(chǔ)上實現(xiàn)極坐標(biāo)絕對網(wǎng)光束法平差，是實現(xiàn)極坐標(biāo)攝影測量理論體系完善的重要任務(wù)之一。由于絕對網(wǎng)平差引入的地面控制點和極坐標(biāo)表達(dá)的加密點分別在兩個坐標(biāo)系下，因此直角坐標(biāo)系下的絕對網(wǎng)平差模型不能直接應(yīng)用于極坐標(biāo)平差模型。由此給出一種基于相似變換約束的極坐標(biāo)絕對網(wǎng)平差優(yōu)化模型，建立極坐標(biāo)系中加密點坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系中控制點參數(shù)化聯(lián)系。

極坐標(biāo)絕對網(wǎng)平差模型主要通過相似變換約束條件，以實現(xiàn)歐氏空間表征的控制點統(tǒng)一到角度表征的極坐標(biāo)自由網(wǎng)中，從而實現(xiàn)圖像誤差在自由網(wǎng)優(yōu)化中得到有效控制點，為后續(xù)相似變換提供剛體變換前提條件。其主要流程可以分為兩步(圖 16)。

本節(jié)通過兩套不同尺度真實航空數(shù)據(jù)來驗證極坐標(biāo)絕對網(wǎng)平差模型對真實數(shù)據(jù)適應(yīng)性。第一套數(shù)據(jù)(Village數(shù)據(jù)集)為丘陵數(shù)據(jù)，包含90張DMC影像，有4條航帶，其圖像幾何分辨率為0.1 m；第二套數(shù)據(jù)(Taian數(shù)據(jù)集)為高山數(shù)據(jù)，包含737張DMC影像，幾何分辨率為0.5 m。2套數(shù)據(jù)具體參數(shù)見表 4。

表 4真實航空數(shù)據(jù)集參數(shù)Tab. 4Real aero dataset parameters

本文利用L2-SIFT算法[21, 23]從大像幅航空影像中提取并匹配高精度連接點，得到的特征像點將作為平差模型的第一類觀測量。2套數(shù)據(jù)中相機(jī)、控制點和檢查點在平面方向空間分布情況見圖 17、圖 18。

算法運行在i5-3210M@2.8 GHz CPU筆記本上，其運行時間及平差包含參數(shù)變量見表 5。

表 5平差參數(shù)及運行效率Tab. 5Adjustment parameters and operating efficiency

表 5表明，第1套數(shù)據(jù)經(jīng)過11次迭代，在初值誤差函數(shù)為56 432的前提下，可以快速收斂到0.090 13(圖 19)。第2套數(shù)據(jù)，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過18次迭代可以從590 764.93收斂到0.138 706(圖 20)。

試驗結(jié)果見表 6，經(jīng)過極坐標(biāo)絕對網(wǎng)平差估算出的加密點見圖 21。對于第1套數(shù)據(jù)，將6個控制點引入到極坐標(biāo)絕對網(wǎng)平差模型中，利用6個檢查點來評價模型精度。平面和高程精度分別為0.16 m和0.21 m，滿足國標(biāo)GBT 23236—2009規(guī)定的1：1000比例尺丘陵地形空三測量平面和高程精度均小于0.35 m要求(GBT 23236—2009，2009)。對于第2套數(shù)據(jù)，將32個控制點引入平差模型，利用20個檢查點來評價模型精度。其得到平面和高程精度分別為0.57 m和1.83 m，滿足國標(biāo)GBT 23236—2009規(guī)定的1：5000比例尺高山地形空三測量平面和高程精度均小于2.5 m要求(GBT 23236—2009，2009)。

表 6Village和Taian數(shù)據(jù)集試驗結(jié)果Tab. 6Experimental results of Village and Taian datasets

因此，極坐標(biāo)體系下的絕對網(wǎng)光束法平差仍然能解算出高精度的加密點坐標(biāo)。

5 極坐標(biāo)體系方法的應(yīng)用特點5.1 航天對地觀測的極坐標(biāo)應(yīng)用必要性

近景攝影測量通常采用兩個相對靜止、相距一定距離的相機(jī)對地面目標(biāo)進(jìn)行成像(圖 22)，利用立體像對對目標(biāo)物進(jìn)行觀測，以得到其位置，形狀等特征。航空攝影常將2個相機(jī)置于同一平臺，這種作業(yè)模式可以保證2臺相機(jī)無相對位移，不需要考慮航空平臺行進(jìn)的速度及加速度，此時僅存在位置(靜態(tài))誤差，解算過程中也無需引入動態(tài)參量。

航空成像多采用面陣成像(圖 23)，本質(zhì)為扇形-錐體成像，適應(yīng)于極坐標(biāo)表達(dá)，但目前主要是直角坐標(biāo)表達(dá)。根據(jù)航空針孔成像模型下CCD像素與成像區(qū)域之間的對應(yīng)關(guān)系(圖 24)可知，隨著焦距f增大，獲取影像的分辨率會逐漸增高，即H高度矢徑保持不變，焦距f增大，極角減小，影像分辨率增高。因此，極坐標(biāo)系統(tǒng)的引入是必要的，它可以使航空獲取-處理高分辨率影像更加高效便捷。航天成像多使用線陣推掃方式，獲得的弧長目前主要用矢徑乘以極角來表示；這樣可以允許其視差角非常小時并不影響精度。若如此，航天線陣推掃和航空面陣成像處理，有望實現(xiàn)統(tǒng)一的極坐標(biāo)數(shù)學(xué)表達(dá)。

在航天攝影測量中，由于傳感器距離目標(biāo)較遠(yuǎn)，需要保證在攝影時有較大的視差角，避免由于視差角過小引入偏差。為避免直角坐標(biāo)系下航天同一平臺2臺相機(jī)對地成像引起的小角度、短基線問題(式(1))，采用兩種對地觀測模式：模式一，同一平臺2臺相機(jī)不同時刻對地觀測；模式二，兩個平臺相同時刻以一定角度對地成像。

實際上，航天平臺不同時刻存在不同飛行狀態(tài)，經(jīng)典的處理過程中只考慮靜態(tài)參量，導(dǎo)致解算的結(jié)果是不精確的，常只從處理模型及靜態(tài)位置參量考慮誤差來源，這時就不能稱之為高分辨率下的高精度處理。實際情況需要考慮兩個運動衛(wèi)星位置(X, Y, Z)、姿態(tài)(俯仰、搖擺、滾動)6個自由度、位置及姿態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和3個位置殘差，形成高分辨率遙感影像21階方程如下

(37)

航天設(shè)備如飛船就是這樣解算動態(tài)載體參數(shù)的，其實時解算非常不易。但如果對影像考慮上述21階參量影響并解算，其計算量成數(shù)量級上升，目前條件下幾乎不能實現(xiàn)。因此，目前航天影像只是考慮靜態(tài)參量加入處理解算，但高分辨率所需要的精度在動態(tài)參量未參與計算時根本無法體現(xiàn)，成為一個新的較大誤差源。例如，衛(wèi)星振顫的消除[24]，本質(zhì)上是擾動力F產(chǎn)生的加速度a的作用

(38)

這里m是衛(wèi)星平臺質(zhì)量。加上速度變量v的貢獻(xiàn)，得到位移與v和a的作用

(39)

這里S-S0是成像時間t的位移增量。顯然，衛(wèi)星振顫產(chǎn)生的加速度誤差是時間增量t的平方，如果不予考慮是不可能獲得動態(tài)誤差剔除后的高精度解算的。

進(jìn)一步針對高分辨率航天影像處理，如果只考慮靜態(tài)參量的解算，對于高精度參量的保障是相對困難的，也是有悖運動方程解算機(jī)理的。因此在考慮現(xiàn)有方法解算時，如果速度平穩(wěn)，其21階方程的6階速度分量可以近似為常數(shù)，但與擾動振動相關(guān)的加速度分量是無法忽略也是動態(tài)誤差的最大根源。

為了既保障高精度，又不引入動態(tài)變量來解算圖像，唯一保障的就是兩個相機(jī)沒有相對位移，即同一航天平臺裝載兩個相機(jī)實現(xiàn)同步觀測。然而，在同一平臺上必然出現(xiàn)視差角過小的現(xiàn)象，使用直角坐標(biāo)系統(tǒng)已不能準(zhǔn)確刻畫影像信息甚至發(fā)散，而極坐標(biāo)表示方法可以表達(dá)出小視差角、短基線下的影像細(xì)節(jié)信息，使解算過程變得更加便捷有效。這將是一個新課題。

要說明的是，現(xiàn)在航天影像處理所采用的有理多項式函數(shù)通用模型，其階次數(shù)是對靜態(tài)非線性描述，一般不高于3次，多項式的一次項的比值用來描述投影誤差，二次項的比值用來描述地球曲率誤差、大氣折光差、鏡頭畸變差等；更高次項的比值用來描述其他一些未知的具有高階分量的誤差，但都不適宜對動態(tài)誤差直接刻畫。

因此，引入極坐標(biāo)是較接近解決上述問題的方法：采用同一平臺、相同時刻、2臺相機(jī)對地觀測，可以不考慮直角坐標(biāo)系下小角度、短基線引發(fā)的奇異陣、非收斂性問題；同時避免由于航天單載荷平臺在不同時刻或不同平臺同一時刻觀測，存在不同飛行狀態(tài)所引發(fā)的高分辨率影像21階方程解算困難，甚至不可解算的問題。

航空航天處理的極坐標(biāo)應(yīng)用具有巨大優(yōu)越性。將極坐標(biāo)體系實現(xiàn)硬件化裝機(jī)到多類傳感器上，可以有望實現(xiàn)星上實時解算、實時傳輸，由傳感器平臺引發(fā)的處理問題可以在線處理。

5.2 航空航天處理的極坐標(biāo)應(yīng)用

將極坐標(biāo)高分辨率觀測方法擴(kuò)展應(yīng)用于海洋海事領(lǐng)域[25]，本文合作團(tuán)隊把極坐標(biāo)方法引至多角度海洋海事目標(biāo)探測識別, 見圖 25和表 7，可以解決拼接速度慢、對誤差高敏感度等問題；在極坐標(biāo)系統(tǒng)下可以很好地處理大角度、變姿態(tài)問題(圖 15)?？傊?，雖然在簡單攝影條件情況(例:載人航空攝影)，與直角坐標(biāo)性能相當(dāng)，但是在其他復(fù)雜攝影條件(例:無人機(jī)攝影及高重疊近景攝影)，其優(yōu)勢顯著，見表 8。

表 7原有方法與引入極坐標(biāo)法比較Tab. 7The comparison table between the original method and the introduction of polar coordinate method

表 8直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)特點對比Tab. 8Comparison of the characteristics of Cartesian and polar coordinates

其二，極坐標(biāo)在GeoSOT剖分經(jīng)緯格網(wǎng)也有重要的應(yīng)用意義，它著眼于地球空間信息“取自經(jīng)緯，歸于經(jīng)緯”和椎體成像的本質(zhì)特征，采用極坐標(biāo)系作為空間信息鏈條中間階段的數(shù)據(jù)組織、管理和存儲基準(zhǔn)，為建立新型空間信息表達(dá)結(jié)構(gòu)提供了新的途徑。

其三，SAR圖像方位向表達(dá)，LiDAR點云初始表達(dá)，都與極坐標(biāo)直接相關(guān)或源自極坐標(biāo)。由此，可以探索空間信息多種成像方式的統(tǒng)一坐標(biāo)系表達(dá)，或可成為空間信息基礎(chǔ)研究的重要探索方向。

6 結(jié)論

(1) 高分辨率遙感數(shù)據(jù)處理效率低甚至發(fā)散的根源是影像處理的病態(tài)性。為此引入極坐標(biāo)體系，其本質(zhì)是將直角坐標(biāo)同量綱幾何參量轉(zhuǎn)換為角度和矢徑量綱，從根源上避免了病態(tài)奇異性引發(fā)的發(fā)散問題，實現(xiàn)高維非線性優(yōu)化問題快速收斂和三維測量。

(2) 本文歷經(jīng)10余年初步建立了一套空間信息極坐標(biāo)基準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型，完善了極坐標(biāo)方法體系。根據(jù)最復(fù)雜的近景攝影測量和自由網(wǎng)平差試驗，證明了極坐標(biāo)的引入使效率、精度、收斂性、抗干擾性有數(shù)量級提高。團(tuán)隊在參考文獻(xiàn)[4-7, 21-22]發(fā)表過程中公布的Parallax BA源代碼，經(jīng)過近3年全球應(yīng)用，證明了其可用性。期待本領(lǐng)域尤其是中國團(tuán)隊的廣泛試用，并對本團(tuán)隊上述6篇文獻(xiàn)進(jìn)行批評幫助。

(3) 部分航空攝影測量和絕對網(wǎng)平差模型試驗，初步證明了極坐標(biāo)方法比直角坐標(biāo)處理方法為優(yōu)。對應(yīng)有本團(tuán)隊在參考文獻(xiàn)[8, 16, 20, 23]的詳細(xì)闡述，期待批評并斧正?，F(xiàn)正在與武漢大學(xué)等航空攝影測量團(tuán)隊實化軟件，為在國際上推出極坐標(biāo)Parallax BA-2而努力。

(4) 極坐標(biāo)處理方法有利于解決變姿態(tài)影像獲取及拼接問題；為航天線陣推掃和航空面陣成像的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)提供可能；并有利于傳感平臺引發(fā)的處理問題在線解決，為影像無地面控制點定位、大傾角或短基線觀測、變焦、擺掃成像等新技術(shù)提供新手段。

(5) 將極坐標(biāo)體系引入航天領(lǐng)域，有望實現(xiàn)同一平臺、相同時刻、兩臺相機(jī)對地成像。由此可以避免直角坐標(biāo)系下航天觀測引發(fā)的小角度、短基線，以及高分辨率影像21階動態(tài)方程解算方可保障精度，甚至不可解算的困難。

(6) 極坐標(biāo)方法的有效獲取、處理與GeoSOT剖分經(jīng)緯網(wǎng)格結(jié)合，可望為新一代空間信息體系的源端和終端，以形成多尺度全姿態(tài)空間信息獲取-組織-管理-存儲-處理-應(yīng)用的極坐標(biāo)體系奠定基礎(chǔ)。

(7) 如何在近景攝影測量和常規(guī)狀態(tài)下充分使用普遍存在的直角坐標(biāo)系軟件、處理模型，發(fā)揮其工業(yè)化水平高而成熟的優(yōu)勢；又在航空航天新技術(shù)豐富發(fā)展需求下全面轉(zhuǎn)換、努力展現(xiàn)極坐標(biāo)體系的優(yōu)勢，是今后需要把握當(dāng)今、迎接未來的實踐過程。但空間信息逐步實現(xiàn)從獲取到應(yīng)用全部過程的極坐標(biāo)基準(zhǔn)方法，是筆者的目標(biāo)，也是未來智能攝影測量無人工干預(yù)情況下自組織、自協(xié)調(diào)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

致謝:感謝國家基金委、科技部的長期支持。感謝本團(tuán)隊趙亮等畢業(yè)學(xué)生的創(chuàng)造性貢獻(xiàn)，感謝悉尼科技大學(xué)Shoudong HUANG、Dissanayake G，美國普渡大學(xué)Jie SHAN及童慶禧、劉先林、楊元喜、周成虎、張祖勛、龔健雅、袁修孝、宋妍對本研究提供的幫助。

【引文格式】晏磊, 陳瑞, 孫巖標(biāo). 極坐標(biāo)數(shù)字?jǐn)z影測量理論與空間信息坐標(biāo)體系初探[J]. 測繪學(xué)報，2018，47(6)：705-721. DOI: 10.11947/j.AGCS.2018.20170636

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