聯(lián)系函數(shù)簡(jiǎn)介

聯(lián)系函數(shù)是指將聯(lián)合分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)聯(lián)系起來的一個(gè)函數(shù)，它是一個(gè)刻劃相依的無量剛的量。聯(lián)系函數(shù)這個(gè)概念產(chǎn)生于概率度量空間理論的發(fā)展過程中，它在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要地位是由Sklar定理確定的。阿基米德聯(lián)系函數(shù)是一類特殊的聯(lián)系函數(shù)，它的形式簡(jiǎn)單，具有許多特殊性質(zhì)，在經(jīng)濟(jì)分析中地位非常重要 。

將聯(lián)系函數(shù)作為系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是從不同的角度對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行兩次集對(duì)同異反分析.首先，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一次集對(duì)同異反分析建立研究對(duì)象的聯(lián)系數(shù)；其次，對(duì)第一次集對(duì)同異反分析所得結(jié)果的聯(lián)系數(shù)再進(jìn)行一次集對(duì)同異反分析，建立研究對(duì)象的聯(lián)系函數(shù)；從而，建立基于聯(lián)系函數(shù)的系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)模型.通過兩次集對(duì)同異反分析，不僅考慮研究對(duì)象本身的確定性與不確定性，而且考慮第一次集對(duì)同異反分析所得結(jié)果的聯(lián)系數(shù)的不確定性，充分考慮系統(tǒng)評(píng)價(jià)過程的確定性與不確定性，進(jìn)一步降低了最終評(píng)價(jià)結(jié)果的不確定性，使得評(píng)價(jià)結(jié)果更加準(zhǔn)確 。

基于聯(lián)系函數(shù)的系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)模型將集對(duì)同異反思想應(yīng)用于系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)函數(shù)中，充分考慮系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的實(shí)際意義，較傳統(tǒng)單純應(yīng)用“數(shù)學(xué)變換”建立系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的方法，更具有實(shí)際意義，實(shí)例分析結(jié)果表明：基于聯(lián)系函數(shù)的系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)模型方法簡(jiǎn)單，具有實(shí)際意義，評(píng)價(jià)結(jié)果準(zhǔn)確、合理、可信，具有推廣應(yīng)用價(jià)值 。

科研人員應(yīng)用聯(lián)系函數(shù)理論，通過連續(xù)兩次集對(duì)同、異、反分析，構(gòu)建了瀝青路面使用性能系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)模型。應(yīng)用結(jié)果說明，基于聯(lián)系函數(shù)的系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)模型的評(píng)價(jià)結(jié)果與現(xiàn)行規(guī)范評(píng)價(jià)結(jié)果一致，該模型能反映當(dāng)瀝青路面使用性能中某一個(gè)指標(biāo)較差而其他指標(biāo)相對(duì)較好時(shí)路面使用性能在一定程度上會(huì)受到較大的影響。經(jīng)過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該模型可更好地反映路面的使用狀況，具有一定的推廣價(jià)值 。2100433B

最有名的應(yīng)力函數(shù)是彈性力學(xué)平面問題中的艾里應(yīng)力函數(shù)。如果沒有體力，平面中的三個(gè)應(yīng)力分量σxx、σyy、τxy滿足下列方程：

根據(jù)方程(1),可將應(yīng)力分量用一個(gè)函數(shù)φ（x，y）表示為：

φ便是艾里應(yīng)力函數(shù)。對(duì)于均勻和各向同性的物體,φ是一個(gè)雙調(diào)和函數(shù)，即它滿足下列雙調(diào)和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面問題原來的8個(gè)未知函數(shù)(兩個(gè)位移分量、三個(gè)應(yīng)變分量和三個(gè)應(yīng)力分量σxx、σyy、τxy就歸結(jié)為一個(gè)函數(shù)φ。這對(duì)求解具體問題很有好處。

在彈性柱體的扭轉(zhuǎn)問題中,剪應(yīng)力分量τxz、τyz滿足下列平衡方程：

據(jù)此可將τxz、τyz用一個(gè)函數(shù)Ψ(x，y)表示為：

Ψ稱為普朗特應(yīng)力函數(shù)。對(duì)于均勻和各向同性的柱體,Ψ滿足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G為材料的剪切模量（見材料的力學(xué)性能）;θ為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。

在求解彈性力學(xué)的空間問題時(shí)，也可以用六個(gè)應(yīng)力函數(shù)代替原來的六個(gè)應(yīng)力分量，但好處不多。所以，一般多采用各種位移函數(shù)。對(duì)于均勻和各向同性彈性體，位移分量u1、u2、u3滿足下列平衡方程：

式中Δ是空間中的拉普拉斯算符；ν為材料的泊松比；G為剪切模量；fi為體力分量。方程(7)的解可以表達(dá)成多種形式。一種形式為：

式中ψ1、ψ2、ψ3、

函數(shù)ψ1、ψ2、ψ3、

方程(7)還有另一種形式的解，即

式中Fi滿足下列方程：

函數(shù)F1、F2、F3稱為布森涅斯克-索米利亞納－伽遼金位移函數(shù)。對(duì)于回轉(zhuǎn)體的軸對(duì)稱問題，公式(10)可作許多簡(jiǎn)化。取對(duì)稱軸為z軸(x3軸),記r為所考慮點(diǎn)到z軸的距離,并記位移在r、z軸上的投影分別為u、w。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F(xiàn)3=F(r，z)。這樣由公式(10)可得到：

式中,即柱坐標(biāo)中的拉普拉斯算符；F滿足下列方程：

公式(12)中的函數(shù)F稱為樂甫位移函數(shù)。 在求解軸對(duì)稱問題時(shí)，經(jīng)常利用公式(12)。

在f1=f2=0的情況下,即使不是軸對(duì)稱問題,方程(7)的解也可用一組位移函數(shù)F、f表示如下：

式中F、f滿足下列方程：

這組位移函數(shù)特別適用于求解無限體、半無限體和厚板等問題。