FIR濾波器工作原理

在進入FIR濾波器前，首先要將信號通過A/D器件進行模數(shù)轉(zhuǎn)換，把模擬信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號；為了使信號處理能夠不發(fā)生失真，信號的采樣速度必須滿足香農(nóng)采樣定理，一般取信號頻率上限的4-5倍做為采樣頻率；一般可用速度較高的逐次逼進式A/D轉(zhuǎn)換器，不論采用乘累加方法還是分布式算法設(shè)計FIR濾波器，濾波器輸出的數(shù)據(jù)都是一串序列，要使它能直觀地反應出來，還需經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換，因此由FPGA構(gòu)成的FIR濾波器的輸出須外接D/A模塊。FPGA有著規(guī)整的內(nèi)部邏輯陣列和豐富的連線資源，特別適合于數(shù)字信號處理任務，相對于串行運算為主導的通用DSP芯片來說，其并行性和可擴展性更好，利用FPGA乘累加的快速算法，可以設(shè)計出高速的FIR數(shù)字濾波器。

FIR濾波器的硬件實現(xiàn)有以下幾種方式：

FIR濾波器集成電路

一種是使用單片通用數(shù)字濾波器集成電路，這種電路使用簡單，但是由于字長和階數(shù)的規(guī)格較少，不易完全滿足實際需要。雖然可采用多片擴展來滿足要求，但會增加體積和功耗，因而在實際應用中受到限制。

FIR濾波器DSP芯片

另一種是使用DSP芯片。DSP芯片有專用的數(shù)字信號處理函數(shù)可調(diào)用，或者根據(jù)芯片指令集的結(jié)構(gòu)自行設(shè)計代碼實現(xiàn)FIR的功能；由于FIR設(shè)計時其系數(shù)計算及其量化比較復雜，因此一般都采用MATLAB軟件作為輔助設(shè)計，計算出FIR的系數(shù)；然后進行代碼設(shè)計實現(xiàn)。實現(xiàn)FIR濾波器相對簡單，但是由于程序順序執(zhí)行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系統(tǒng)的DSP芯片，其編程指令也會有所不同，開發(fā)周期較長。

FIR濾波器可編程

還有一種是使用可編程邏輯器件，F(xiàn)PGA/CPLD。FPGA有著規(guī)則的內(nèi)部邏輯塊陣列和豐富的連線資源，特別適合用于細粒度和高并行度結(jié)構(gòu)的FIR濾波器的實現(xiàn)，相對于串行運算主導的通用DSP芯片來說，并行性和可擴展性都更好。

有限長單位沖激響應（FIR）濾波器有以下特點：

(1) 系統(tǒng)的單位沖激響應h (n)在有限個n值處不為零

(2) 系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，極點全部在z = 0處（因果系統(tǒng)）

(3) 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。

設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應h (n)為一個N點序列，0 ≤ n ≤N —1，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=∑h(n)*z^-k

就是說，它有（N—1）階極點在z = 0處，有（N—1）個零點位于有限z平面的任何位置。

FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：

FIR濾波器橫截型

（7.10）式的系統(tǒng)的差分方程表達式為

y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11）

很明顯，這就是線性時不變系統(tǒng)的卷積和公式，也是x (n)的延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)，稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱為直接型結(jié)構(gòu)。將轉(zhuǎn)置定理，可得到轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)。

FIR濾波器級聯(lián)型

將H (z)分解成實系數(shù)二階因子的乘積形式

（7.12）

其中[N/2]表示取N/2的整數(shù)部分。若N為偶數(shù)，則N—1為奇數(shù)，故系數(shù)B2K中有一個為零，這是因為，這時有奇數(shù)個根，其中復數(shù)根成共軛對必為偶數(shù)，必然有奇數(shù)個實根。畫出N為奇數(shù)時，F(xiàn)IR濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個二階因子用橫型結(jié)構(gòu)。

這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對零點，因而再需要控制傳輸零點時，可以采用它。但是這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)B2k（I = 0，1，2，k，= 1，2，．．．，[N/2]）比卷積型的系數(shù)h (n)要多，因而所需的乘法次數(shù)也比卷積型的要多。

FIR濾波器頻率抽樣

在第三章中已說過，把一個有限長序列（長度為N點）的z變換H (z)在單位圓上作N等分抽樣，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的離散傅里葉變換H (k)。那里也說到用H (k)表示的H (z)的內(nèi)插公式為

（7.13）

這個公式就為FIR濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由兩部分級聯(lián)組成。

（7.14）

其中級聯(lián)的第一部分為

(7.15）

這是一個FIR子系統(tǒng)，是由N節(jié)延時單元構(gòu)成的梳狀濾波器，令

則有

即Hc (z)在單位圓上有N個等間隔角度的零點，它的頻率響應為

（7.16）

因而幅度響應為

幅角為

其子網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)及頻率響應幅度。

級聯(lián)的第二部分為

它是由N個一階網(wǎng)絡并聯(lián)組成，而這每一個一階網(wǎng)絡都是一個諧振器

（7.17）

令H'k(z)的分母為零，即令

可得到此一階網(wǎng)絡在單位圓上有一個極點

也就是說：此一階網(wǎng)絡在頻率為

處響應為無窮大，故等效于諧振頻率為2πk / N的無損耗諧振器。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（I = k）相抵消，從而使這個頻率（ω= 2πk / N）上的頻率響應等于H (k)。這樣，N個諧振器的N個極點就和梳狀濾波器的N個零點相互抵消，從而在N個頻率抽樣點上（ω= 2πk / N，k = 0，1，．．．，N —1）的頻率響應就分別等于N個H (k)值。

N個并聯(lián)諧振器與梳狀濾波器級聯(lián)后，就得到頻率抽樣結(jié)構(gòu)。

頻率抽樣結(jié)構(gòu)的特點是它的系數(shù)H (k)就是濾波器在ω= 2πk / N處的響應，因此控制濾波器的頻率響應很方便。但是結(jié)構(gòu)中所乘的系數(shù)H (k)及WN都是復數(shù)，增加了乘法次數(shù)和存儲量，而且所有極點都在單位圓上，由系數(shù)WN決定，這樣，當系數(shù)量化時，這些極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消（零點由延時單元決定，不受量化的影響）。系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。

為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點，可以將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點修正，即將所有零、極點都移到單位圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為r (r小于或近似等于1)的圓上（r為正實數(shù)）。

FIR濾波器快速卷積

前一章談到，只要將兩個有限長序列補上一定的零值點，就可以用圓周卷積來代替兩序列的線性卷積。由于時域的圓周卷積，等效到頻域則為離散傅立葉變換的乘積。因而，如果

即將輸入x (n)補上L—N1個零值點，將有限長單位沖激響應h (n)補上L—N2個零值點，只要滿足L >= N1 N2—1，則L點的圓周卷積就能代表線性卷積，即

用DFT表示，則有

Y(k) =X(k)H(k)

因而有

其中

Y(k) = DFT[y (n)]，L點

X(k) = DFT[x(n)]，L點

H(k) = DFT[h (n)]，L點

這樣，我們就可得到快速卷積結(jié)構(gòu)，當N1，N2足夠長時，它比直接計算線性卷積要快得多。這里計算DFY和IDFT都采用快速傅立葉變換計算方法。

隨著個人音頻的發(fā)展，曾經(jīng)的IIR濾波器處理音頻帶來的音質(zhì)劣化越來越受市場排斥。原有的IIR雖然具有簡單，算量小，使用方便的特點，但精度并不足夠，所以在專業(yè)音頻，很多有FIR 4096的音頻算法，例如拉脫維亞的Coneq等。

相反的WFIR濾波器

為彌補FIR在低分辨率下低頻處理不佳，部分音頻算法使用了相反的WFIR濾波器。與FIR相反，WFIR對低頻處理較好，而對高頻無效。而每個工作點算量使用達到FIR的6倍。

FIR用于音頻的優(yōu)勢

FIR的優(yōu)勢在于可以無限增加精度（在足夠運算能力的前提下），并且不存在IIR濾波器的相位精度問題，是比較高端的解決方案

劣勢

1：因為采用的精度很高，所以對計算資源和內(nèi)存、功耗的使用更高；

2：FIR在其他領(lǐng)域主要解決高頻問題，在音頻應用常常遇到1Khz以下的信號，F(xiàn)IR至少需要FIR 512才能對1K以下產(chǎn)生作用

3：過分運算，因為FIR每個處理單元寬度不能調(diào)整，因此在解決低頻問題時，高頻會出現(xiàn)過分運算的情況。

新的解決方案

包括FIR與IIR的混合使用，以及新型研發(fā)的音頻專用VIR濾波器。