莫爾圓

對于二向應(yīng)力狀態(tài)，若已知如圖1所示的單元體（實際代表物體中一個點）在兩相互垂直的截面上的應(yīng)力σ_x、

二向應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓有如下性質(zhì)：

①莫爾圓上每一點的坐標都對應(yīng)于單元體上某一截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；

②若莫爾圓上的兩個點組成的圓心角為2α，則單元體上相應(yīng)的兩個截面的外法向的夾角為α，且角度的轉(zhuǎn)向相同。

根據(jù)上述性質(zhì)，以單元體上某個面為基面，以莫爾圓上與該面對應(yīng)的點為基點，就能求出單元體中各截面上的應(yīng)力，或找出最大剪應(yīng)力面和主平面（即剪應(yīng)力為零的平面）的方向。

三向應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓是在已知物體上一點的三個主應(yīng)力σ₁、σ₂、σ₃的前提下得到的。如圖4所示，若σ₁>σ₂>σ₃，則三向應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓具有如下性質(zhì)：物體內(nèi)所考慮點的任意方向截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力在σ-τ坐標系中對應(yīng)的點，都落在圖中的陰影部分。即莫爾圓給出了一點的應(yīng)力范圍。若已知截面的法向與三個主應(yīng)力方向的夾角或方向余弦，也可通過幾何方法確定出該截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的值。但在一般工程應(yīng)用中，知道應(yīng)力范圍就足夠了。

對于應(yīng)變，也有相同形式的莫爾圓。2100433B

1866年德國的K.庫爾曼首先證明：物體中一點的二向應(yīng)力狀態(tài)可用平面上的一個圓表示，這就是應(yīng)力圓。1882年德國工程師克里斯蒂安O.莫爾（ChristianOttoMohr）對應(yīng)力圓作了進一步的研究，提出借助應(yīng)力圓確定一點的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法，后人就稱應(yīng)力圓為莫爾應(yīng)力圓，簡稱莫爾圓。

為了簡化計算，將莫爾應(yīng)力圓包絡(luò)線簡化為直線（右圖b），即巖石材料的破壞條件與土力學(xué)中所采用的相同，也可用庫侖方程式表示，即：

由右圖b可得：

由上述公式可得：

這一方程式常稱為莫爾—庫侖破壞強度方程式或莫爾—庫侖破壞強度條件。2100433B

莫爾一庫侖強度理論(Mohr Coulomb theory)由德國工程師莫爾(Christian Otto Mohr，1835—1918)于1900年提出 。該理論認為，材料發(fā)生剪斷破壞的原因主要是某一截面上的切應(yīng)力達到強度極限值，但也與該面上的正應(yīng)力有關(guān)。如截面上存在壓應(yīng)力，則與壓應(yīng)力大小有關(guān)的材料內(nèi)摩擦力將阻止截面的滑動；如果截面上存在拉應(yīng)力，則截面將容易滑動，因此剪斷不一定發(fā)生在最大剪應(yīng)力的截面上。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如果不考慮中間應(yīng)力σ₂，對材料破壞的影響，則一點處的最大切應(yīng)力或較大切應(yīng)力可由最大和最小主應(yīng)力σ₁和σ₃所畫的應(yīng)力圓決定。材料在破壞時的應(yīng)力圓稱“極限應(yīng)力圓”，根據(jù)σ₁和σ₃ 的不同比值(如單軸拉伸、單軸壓縮、純剪，各種不同大小應(yīng)力比的三軸壓縮試驗等)，可作出一系列極限應(yīng)力圓，這些應(yīng)力圓的公共包絡(luò)線（右圖1所示）便是材料破壞的臨界線。

法國物理學(xué)家?guī)靵?Charles Augustinde Coulomb，1736—1806)于1773年提出，假定強度極限值是同一平面上法向應(yīng)力的線性函數(shù)，則包絡(luò)線可簡化為直線，常稱“莫爾—庫侖理論”或“庫侖強度理論”。莫爾強度理論能較全面地反映巖石和土的強度特性(如巖石和土的抗拉強度遠小于抗壓強度)。該理論適用于脆性材料，也適用于塑性材料 。

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