角平分線性質(zhì)定理證明

●三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例.

即 在三角形ABC中，當(dāng)AD是頂角A的角平分線交底邊于D時(shí)，BD/CD=AB/AC.

證明

:

如圖，AD為△ABC的角平分線，過點(diǎn)D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF.

S△ABD:S△ACD=BD/CD

又因?yàn)镾△ABD:S△ACD=[(1/2)AB×DE]:[(1/2)AC×DF]=AB:AC

所以BD/CD=AB/AC.

1.角平分線可以得到兩個(gè)相等的角。

角平分線，顧名思義，就是將角平分的射線。

如右圖，若射線AD是角CAB的角平分線，則角CAD等于角BAD。

2.角平分線線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

如右上圖，若射線AD是∠CAB的角平分線，求證:CD=BD

∵∠DCA=∠DBA

∠CAD=∠BAD

AD=AD

∴△ACD≌△ABD

∴CD=BD

3.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱作三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

這一條是第二條的引申，詳細(xì)證明過程參照第二條和三角形內(nèi)心。

4.三角形一個(gè)角的平分線，這個(gè)角平分線其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例。

如右下圖，平面內(nèi)任意一小于180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直線BC分別交射線AM、AN、AS于B、C、D，求證:AB/BD=AC/CD:

作BE=BD交射線AS于E，如圖1:

∵BE=BD，

∴∠BED=∠BDE，

∴∠AEB=∠ADC

又∵∠BAE=∠CAD,

∴△AEB∽△ADC,

∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.

另外的情況，

如圖2，直線BC交AS的反向延長(zhǎng)線于D,

如圖3，直線BC交AN的反向延長(zhǎng)線于C;

此時(shí)，仍有AB/BD=AC/CD

證法與圖1類似

【角平分線逆定理】

1.到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。

2.平面內(nèi)任意一小于180度的∠MAN如圖，直線BC分別交半直線AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD則:AS平分∠MAN

下面給出證明過程:

證明:過B作BH∥AC交AS于H

∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)

∴AC/CD=HB/BD

又AB/BD=AC/CD

∴AB=BH

∴∠BHA=∠BAH=∠HAC

∴AS平分∠MAN