節(jié)點(diǎn)電流定律

①假設(shè)電流的參考方向

②確定節(jié)點(diǎn)

③列節(jié)點(diǎn)電流方程（列方程時(shí)，說明對(duì)哪一個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用定律）

④解方程，求出未知電流的大小與方向（若電流出現(xiàn)負(fù)值，必須用文字加以說明負(fù)號(hào)的含義。）

在任一時(shí)刻，對(duì)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，流入節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出節(jié)點(diǎn)的電流之和。即

如圖1，

對(duì)于節(jié)點(diǎn)A：

移項(xiàng)有：

如果規(guī)定流入節(jié)點(diǎn)的電流為正，流出節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，則可得出下面的結(jié)論：

電流定律第二種描述：

在任一電路的任一節(jié)點(diǎn)上，電流的代數(shù)和永遠(yuǎn)等于零。

節(jié)點(diǎn)電流定律支路

有一個(gè)或幾個(gè)元件首尾相接構(gòu)成無分支電路。

圖中有3條支路：

E1和R1串聯(lián)構(gòu)成一條支路；

E2和R2串聯(lián)構(gòu)成一條支路；

R3單獨(dú)構(gòu)成另一條支路。

節(jié)點(diǎn)電流定律節(jié)點(diǎn)

三條或三條以上支路的連接點(diǎn)叫節(jié)點(diǎn)。

圖中A和B為節(jié)點(diǎn)。

節(jié)點(diǎn)電流定律回路

電路中任一閉合路徑稱為回路。

圖中共有3個(gè)回路，分別是：

（1）A B D M A

（2）A N C B A

（3）M N C D M

節(jié)點(diǎn)電流定律網(wǎng)孔

內(nèi)部不含有支路的回路叫網(wǎng)孔。

(1) 對(duì)于含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，只能列出(n- 1)個(gè)獨(dú)立的電流方程。

(2) 列節(jié)點(diǎn)電流方程時(shí)，只需考慮電流的參考方向，然后再帶入電流的數(shù)值。

為分析電路的方便，通常需要在所研究的一段電路中事先選定(即假定)電流流動(dòng)的方向，叫做電流的參考方向，通常用“→”號(hào)表示。

電流的實(shí)際方向可根據(jù)數(shù)值的正、負(fù)來判斷，當(dāng)I > 0時(shí)，表明電流的實(shí)際方向與所標(biāo)定的參考方向一致；當(dāng)I< 0時(shí)，則表明電流的實(shí)際方向與所標(biāo)定的參考方向相反。2100433B

1、對(duì)于兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)如果有兩根導(dǎo)線相連，則兩 根導(dǎo)線中的電流必相等。

2、若兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間只有一根導(dǎo)線相連，那么這根導(dǎo)線中一定沒有電流通過。 I = 0

3、若一個(gè)電路中只有一處用導(dǎo)線接地，則該接地線中沒有電流。I =0

這一難題，早在1847年，就被21歲的基爾霍夫(德國(guó)科學(xué)家)成功地解決了。

當(dāng)時(shí)他剛從大學(xué)畢業(yè)，第一篇論文就提出后來被稱為基爾霍夫電流定律和電壓定律的兩個(gè)定律，運(yùn)用這兩個(gè)定律能正確而迅速地求解任何復(fù)雜的電路，立即被各國(guó)科學(xué)家接受和采用，直到現(xiàn)在它仍是解決復(fù)雜電路問題的重要工具?；鶢柣舴虮环Q為“電路求解大師”。

對(duì)于電路中任意假設(shè)的封閉面來說，節(jié)電流定律仍然成立。

把封閉面看成一個(gè)大節(jié)點(diǎn)

基爾霍夫電流定律定義

基爾霍夫電流定律表明：

• 所有進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的電流的總和等于所有離開這節(jié)點(diǎn)的電流的總和。

或者，更詳細(xì)描述為：

• 假設(shè)進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的電流為正值，離開這節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)值，則所有涉及這節(jié)點(diǎn)的電流的代數(shù)和等于零。

以方程表達(dá)，對(duì)于電路的任意節(jié)點(diǎn)滿足：

其中，i_k 是第 k 個(gè)進(jìn)入或離開這節(jié)點(diǎn)的電流，是流過與這節(jié)點(diǎn)相連接的第 k 個(gè)支路的電流，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。[4]

基爾霍夫電流定律推導(dǎo)

由于累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時(shí)間（單位為秒）的乘積，從電荷守恒定律可以推導(dǎo)出這條定律。其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程，即根據(jù)電荷守恒定律，流向節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出節(jié)點(diǎn)的電流之和。

思考電路的某節(jié)點(diǎn)，跟這節(jié)點(diǎn)相連接有 n 個(gè)支路。假設(shè)進(jìn)入這節(jié)點(diǎn)的電流為正值，離開這節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)值，則經(jīng)過這節(jié)點(diǎn)的總電流 i 等于流過支路 k 的電流i_k的代數(shù)和：

將這方程積分于時(shí)間，可以得到累積于這節(jié)點(diǎn)的電荷的方程：

其中，

假設(shè) q>0 ，則正電荷會(huì)累積于節(jié)點(diǎn)；否則，負(fù)電荷會(huì)累積于節(jié)點(diǎn)。根據(jù)電荷守恒定律，q 是個(gè)常數(shù)，不能夠隨著時(shí)間演進(jìn)而改變。由于這節(jié)點(diǎn)是個(gè)導(dǎo)體，不能儲(chǔ)存任何電荷。所以，q=0 、i=0 ，基爾霍夫電流定律成立：

基爾霍夫電流定律含時(shí)電荷密度

從上述推導(dǎo)可以看到，只有當(dāng)電荷量為常數(shù)時(shí)，基爾霍夫電流定律才會(huì)成立。通常，這不是個(gè)問題，因?yàn)殪o電力相斥作用，會(huì)阻止任何正電荷或負(fù)電荷隨時(shí)間演進(jìn)而累積于節(jié)點(diǎn)，大多時(shí)候，節(jié)點(diǎn)的凈電荷是零。

不過，電容器的兩塊導(dǎo)板可能會(huì)允許正電荷或負(fù)電荷的累積。這是因?yàn)殡娙萜鞯膬蓧K導(dǎo)板之間的空隙，會(huì)阻止分別累積于兩塊導(dǎo)板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對(duì)于這狀況，流向其中任何一塊導(dǎo)板的電流總和等于電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。只有當(dāng)應(yīng)用基爾霍夫電流定律于電容器內(nèi)部的導(dǎo)板時(shí)，才需要這樣思考。若應(yīng)用于電路分析（circuit analysis）時(shí)，電容器可以視為一個(gè)整體元件，凈電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術(shù)性的層面來說，取散度于麥克斯韋修正的安培定律，然后與高斯定律相結(jié)合，即可得到基爾霍夫電流定律：

其中，J 是電流密度，

這是電荷守恒的微分方程。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等于在這封閉表面內(nèi)部的電荷 Q 的流失率：

基爾霍夫電流定律等價(jià)于電流的散度是零的論述。對(duì)于不含時(shí)電荷密度，該定律成立。對(duì)于含時(shí)電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

雖然物理定律不是隨便就可以推翻的，但是它們有時(shí)也需要修正。美國(guó)伊利諾斯大學(xué)電子和計(jì)算機(jī)工程教授米爾頓·馮和小尼克·侯隆亞克等研究人員通過開發(fā)出的三端口晶體管激光器（three-port transistor laser），對(duì)基爾霍夫電流定律進(jìn)行了修正。

伊利諾斯大學(xué)研究人員通過使用量子阱修改基區(qū)和諧振器的外形，把晶體管的工作方式由自發(fā)發(fā)射轉(zhuǎn)變?yōu)槭芗ぐl(fā)射。晶體管復(fù)合工藝的改變使器件特性發(fā)生了變化，使其具有一種基本的、潛在的接近激光器閾值的可用的非線性特性。三端口晶體管激光器通過把電輸入信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)輸出信號(hào)——一個(gè)電信號(hào)和一個(gè)光信號(hào)，從而提供了新的信號(hào)混合和開關(guān)能力，把晶體管和激光器的功能結(jié)合了起來。

但是，新增加的光輸出第三端口帶來了意想不到的難題，即在兩種能量輸出形式并存的情況下如何運(yùn)用電荷守恒定律和能量守恒定律。

馮教授表示：“我們對(duì)此感到困惑。它是如何工作的？它是否違背了基爾霍夫定律？定律又如何適用于光子或光信號(hào)輸出的？”

侯隆亞克教授說：“光信號(hào)與電信號(hào)相連和相關(guān)，但在晶體管激光器中光信號(hào)和電信號(hào)的關(guān)系則被解除。基爾霍夫定律照顧到了電荷平衡，卻沒有照顧到能量平衡。由此帶來的問題是，如何將該定律適用于所有情況，并以電路的語言將其表達(dá)出來?！?

最終，三端口晶體管激光器所表現(xiàn)的特性促使研究人員對(duì)基爾霍夫定律進(jìn)行了再檢驗(yàn)和修正，以使其能適用于解釋電子和光子，從而有效地將電流定律擴(kuò)展為電流—能量定律。在2010年5月10日的《應(yīng)用物理雜志》網(wǎng)絡(luò)版上，研究人員發(fā)表了有關(guān)的模型和支持?jǐn)?shù)據(jù)。馮教授表示，過去的定律僅與從給定節(jié)點(diǎn)流出的電子相關(guān)，從不涉及能量守恒的問題。他說：“這是我們首次看到能量是如何參與到守恒過程中的?！?

基于修正定律的計(jì)算機(jī)模型與從三端口晶體管激光器收集的數(shù)據(jù)相符，可非常精確地預(yù)測(cè)出集成電路的頻寬、速度和其他特性。通過研究三端口晶體管激光器中電子、光子和半導(dǎo)體的行為，研究人員將可開發(fā)出該器件在高速信號(hào)處理、集成電路、光通信及超級(jí)計(jì)算中的多種應(yīng)用。

基爾霍夫定律建立在電荷守恒定律、歐姆定律及電壓環(huán)路定理的基礎(chǔ)之上，在穩(wěn)恒電流條件下嚴(yán)格成立。當(dāng)基爾霍夫第一、第二方程組聯(lián)合使用時(shí)，可正確迅速地計(jì)算出電路中各支路的電流值。由于似穩(wěn)電流(低頻交流電) 具有的電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應(yīng)用范圍亦可擴(kuò)展到交流電路之中。