測地線方程

測地線方程是一個二階微分方程組，由于各未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在各個方程中互相耦合，求解并不簡單。但是如果時空有足夠數(shù)量的Killing矢量場，那么就可以利用測地線的切矢和Killing矢量場的內(nèi)積在測地線上為常數(shù)的性質(zhì)把測地線方程化為一階微分方程求解。

通過愛因斯坦場方程確定時空度規(guī)后就可以解測地線方程來得到自由粒子的運動軌跡。廣義相對論最初的觀察結(jié)果驗證日食的光偏折的理論計算，便是愛因斯坦求解史瓦西時空下的測地線方程，利用其一級近似得出的結(jié)論。

抽象指標(biāo)下某時空的測地線方程形式為 ：

分別是測地線的切矢量和該時空的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

若考慮某一坐標(biāo)系{xμ}，測地線方程可以寫成分量形式 ：

測地線概述

也稱作測地線進動（Geodetic Effect或Geodetic Precession）是指在廣義相對論預(yù)言下引力場的時空曲率對處于其中的具有自旋角動量的測試質(zhì)量的運動狀態(tài)所產(chǎn)生的影響，這種影響造成了測試質(zhì)量的自旋角動量在引力場內(nèi)沿測地線的進動。這種效應(yīng)在今天成為了廣義相對論的一種實驗驗證方法，并且已經(jīng)由美國國家航空航天局于2004年發(fā)射的科學(xué)探測衛(wèi)星“引力探測器B”在觀測中證實。

測地線解釋

由于廣義相對論本身是一種幾何理論，所有的引力效應(yīng)都可以用時空曲率來解釋，測地線效應(yīng)也不例外。不過，這里自旋角動量的進動也可以部分地從廣義相對論的替代理論之一——引力磁性來理解。

從引力磁性的觀點來看，測地線效應(yīng)首先來源于軌道-自旋耦合作用。在引力探測器B的觀測中，這是引力探測器B中的陀螺儀的自旋和位于軌道中心的地球的質(zhì)量流的相互作用。本質(zhì)上這完全可以和電磁理論中的托馬斯進動做類比。這種相互作用所導(dǎo)致的進動在全部的測地線進動中起到三分之一的貢獻。

另外的三分之二貢獻不能用引力磁性來解釋，只能認(rèn)為來自于時空曲率。簡單來說，平直時空中沿軌道運動的自旋角動量方向會隨著引力場造成的時空彎曲而傾斜。這一點其實并不難于理解：垂直于一個平面的矢量在平面發(fā)生彎曲后定然會改變方向。根據(jù)推算，引力探測器B的繞地軌道周長由于地球引力場的影響會比不考慮引力場時的周長縮短1.1英寸（約合2.8厘米），這個例子在引力探測器B的研究中經(jīng)常被稱作“丟失的一英寸”。在引力探測器B的位于642千米高空的極軌道上，廣義相對論的理論預(yù)言由于自旋-軌道耦合和時空曲率而產(chǎn)生的軌道平面上的測地線效應(yīng)總和為每年進動6.606角秒（約合0.0018度）。這對于弱引力場中相對論效應(yīng)來說已經(jīng)是一個相當(dāng)顯著的影響了（作為同為引力探測器B的觀測任務(wù)之一的地球引力場的參考系拖拽要比測地線效應(yīng)弱170倍）。引力探測器B的觀測結(jié)果首先在2007年4月舉行的美國物理學(xué)會四月年會上進行了快報，其觀測結(jié)果與理論誤差小于1%。

測地線束與共軛點理論的假設(shè)與推導(dǎo)

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考慮的測地線束局部正比于某個梯度場， 或者說垂直于某個超曲面， 則稱該線束是超曲面垂直(hypersurface orthogonal) 的。 可以證明， 對于這樣的測地線束來說， 渦旋張量 ωab 為零， 從而 Raychaudhuri 方程可以簡化為：

dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab

由于 σabσab 總是非負(fù)的， 因此從這個方程中我們可以得到：

dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2

如果進一步假定強能量條件成立， 即 RabVaVb 處處非負(fù)， 則上述不等式可以進一步簡化為：

dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2

對這個不等式進行積分可得：

θ-1 ≥ θ0-1 (1/3)(τ-τ0)

其中 θ0=θ(τ0)。

測地線束與共軛點推論

從這個不等式我們可以得到一個重要的推論， 那就是倘若 θ0<0， 即線束在 τ=τ0 時出現(xiàn)匯聚效應(yīng)， 則 θ 會在有限固有時間 τ-τ0≤3/|θ0| 內(nèi)趨于負(fù)無窮。 可以證明， 這意味著測地線束在該處匯聚為一點， 或者說測地偏離矢量場 - 也稱為 Jacobi 場 - 在該處為零。

上面這些結(jié)果都是針對類時測地線的。 不過可以證明， 除了一些不影響定性結(jié)果的差異 (比如 Raychaudhuri 方程中的數(shù)值因子 1/3 因垂直子空間維數(shù)的改變而變成 1/2， 固有時間 τ 變成仿射參數(shù) λ， 等) 外， 類光測地線也具有類似的性質(zhì)。 類光測地線所滿足的一般性條件為： 每條類光測地線上至少有一個點使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 這個條件被稱為類光一般性條件 (null generic condition)。